Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
a,a=b+1
suy ra a-b=1 suy ra(\(\sqrt{a}+\sqrt{b}\))(\(\sqrt{a}-\sqrt{b}\))=1
suy ra \(\sqrt{a}-\sqrt{b}\)=\(\frac{1}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}\)(1)
vì a=b+1 suy ra a>b suy ra \(\sqrt{a}>\sqrt{b}\)suy ra \(\sqrt{a}+\sqrt{b}>2\sqrt{b}\)
suy ra \(\frac{1}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}< \frac{1}{2\sqrt{b}}\)(2)
từ (1) ,(2) suy ra\(\sqrt{a}-\sqrt{b}< \frac{1}{2\sqrt{b}}\)suy ra \(2\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)< \frac{1}{\sqrt{b}}\)(*)
ta lại có b+1=c+2 suy ra b-c =1 suy ra\(\left(\sqrt{b}-\sqrt{c}\right)\left(\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)=1\)
suy ra \(\sqrt{b}-\sqrt{c}=\frac{1}{\sqrt{b}+\sqrt{c}}\)(3)
vì b>c suy ra \(\sqrt{b}>\sqrt{c}\) suy ra \(\sqrt{b}+\sqrt{c}>2\sqrt{c}\)
suy ra \(\frac{1}{\sqrt{b}+\sqrt{c}}< \frac{1}{2\sqrt{c}}\)(4)
Từ (3),(4) suy ra \(\sqrt{b}-\sqrt{c}< \frac{1}{2\sqrt{c}}\) suy ra\(2\left(\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)< \frac{1}{\sqrt{c}}\)(**)
từ (*),(**) suy ra đccm
b, Ta có \(2015^2=\left(2014+1\right)^2=2014^2+2.2014+1\)
=> \(2014^2+1=2015^2-2.2014\)
=> \(B=\sqrt{1+2014^2+\frac{2014^2}{2015^2}}+\frac{2014}{2015}\)
= \(\sqrt{2015^2-2.2014+\frac{2014^2}{2015^2}}+\frac{2014}{2015}\)
= \(\sqrt{\left(2015-\frac{2014}{2015}\right)^2}+\frac{2014}{2015}\) = \(2015-\frac{2014}{2015}+\frac{2014}{2015}=2015\)
=> đpcm
a, Đặt \(\sqrt[4]{a}=x;\sqrt[4]{b}=y.\)Bất đẳng thức ban đầu trở thành: \(\frac{2x^2y^2}{x^2+y^2}\le xy.\)
ta có : \(x^2+y^2\ge2xy\Rightarrow\frac{2x^2y^2}{x^2+y^2}\le\frac{2x^2y^2}{2xy}=xy.\)(đpcm )
dấu " = " xẩy ra khi x = y > 0
vậy bất đăng thức ban đầu đúng. dấu " = " xẩy ra khi a = b >0
c,\(\left(\frac{\sqrt{1+a}}{\sqrt{1+a}-\sqrt{1-a}}+\frac{1-a}{\sqrt{1-a^2}-1+a}\right)\left(\sqrt{\frac{1}{a^2}-1}-\frac{1}{a}\right)\)
\(=\left(\frac{\sqrt{1+a}}{\sqrt{1+a}-\sqrt{1-a}}+\frac{\sqrt{1-a}.\sqrt{1-a}}{\sqrt{1-a}\left(\sqrt{1+a}-\sqrt{1-a}\right)}\right)\left(\frac{\sqrt{1-a^2}-1}{a}\right)\)
\(=\frac{\left(\sqrt{1+a}+\sqrt{1-a}\right)^2}{\left(1+a\right)-\left(1-a\right)}.\frac{\left(\sqrt{1-a^2}-1\right)}{a}=-1\)
M chỉ làm tiếp thôi nha, ko chép lại đề với đk đâu
a,
\(=\frac{a+2\sqrt{ab}+b-4\sqrt{ab}}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}-\)\(\frac{\sqrt{ab}\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)}{\sqrt{ab}}\)
\(=\frac{a-2\sqrt{ab}+b}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}-\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)\)
\(=\frac{\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^2}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}-\sqrt{a}+\sqrt{b}\)
\(=\sqrt{a}-\sqrt{b}-\sqrt{a}+\sqrt{b}\)
\(=0\)
b,
\(=\left(a-b\right)\left(\sqrt{\frac{a+b}{a-b}}-1\right)\left(a-b\right)\left(\sqrt{\frac{a+b}{a-b}}+1\right)\)
\(=\left(a-b\right)^2\left(\frac{a+b}{a-b}-1\right)\)
\(=\left(a-b\right)^2\cdot\frac{a+b-a+b}{a-b}\)
\(=\left(a-b\right)2b=2ab-2b^2\)
Áp dụng BĐT Cauchy ta được: \(2\left(\sqrt{ab}-b\right)=2\left(\sqrt{b\left(b+1\right)}-b\right)< 2\left(\frac{2b+1}{2}-b\right)=1\)
\(\Leftrightarrow2\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)< \frac{1}{\sqrt{b}}\)
không xảy ra dấu bằng
Vế còn lại:
CHú ý: b+1=c+2 mà c>0 => b-1>0
\(2\left(b-\sqrt{bc}\right)=2\left(b-\sqrt{b\left(b-1\right)}\right)>2\left(b-\frac{2b-1}{2}\right)=1\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{\sqrt{b}}< 2\left(\sqrt{b}-\sqrt{c}\right)\)
=> ĐPCM