Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(ax^3=by^3=cz^3\Rightarrow\dfrac{ax^2}{\dfrac{1}{x}}=\dfrac{by^2}{\dfrac{1}{y}}=\dfrac{cz^2}{\dfrac{1}{z}}=\dfrac{ax^2+by^2+cz^2}{\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}}=ax^2+by^2+cz^2\)
=> \(\sqrt[3]{ax^2+by^2+cz^2}=\sqrt[3]{ax^3}=\sqrt[3]{by^3}=\sqrt[3]{cz^3}\)
\(=\dfrac{\sqrt[3]{a}}{\dfrac{1}{x}}=\dfrac{\sqrt[3]{b}}{\dfrac{1}{y}}=\dfrac{\sqrt[3]{c}}{\dfrac{1}{z}}=\dfrac{\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}+\sqrt[3]{c}}{\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}}=\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}+\sqrt[3]{c}.\)
Vay \(\sqrt[3]{ax^2+by^2+cz^2}=\)\(\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}+\sqrt[3]{c}.\)
Lời giải:
Đặt \(ax^3=by^3=cz^3=k^3\)
\(\Rightarrow \left\{\begin{matrix} a=\frac{k^3}{x^3}\\ b=\frac{k^3}{y^3}\\ c=\frac{k^3}{z^3}\end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} \sqrt[3]{a}=\frac{k}{x}\\ \sqrt[3]{b}=\frac{k}{y}\\ \sqrt[3]{c}=\frac{k}{z}\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow \sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}+\sqrt[3]{c}=k\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)=k(*)\)
Mặt khác theo tính chất dãy tỉ số bằng nhau:
\(k^3=ax^3=by^3=cz^3=\frac{ax^2}{\frac{1}{x}}=\frac{by^2}{\frac{1}{y}}=\frac{cz^2}{\frac{1}{z}}=\frac{ax^2+by^2+cz^2}{\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}}=ax^2+by^2+cz^2\)
\(\Rightarrow k=\sqrt[3]{ax^2+by^2+cz^2}(**)\)
Từ $(*)$ và $(**)$ ta có đpcm.
Đặt \(ax^3=by^3=cz^3=k\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=\frac{k}{x^3}\\b=\frac{k}{y^3}\\c=\frac{k}{z^3}\end{matrix}\right.\)
Thay vào VT ta được :
\(VT=\sqrt[3]{x^2\cdot\frac{k}{x^3}+y^2\cdot\frac{k}{y^3}+z\cdot\frac{k}{z^3}}=\sqrt[3]{\frac{k}{x}+\frac{k}{y}+\frac{k}{z}}\)
\(=\sqrt[3]{k\cdot\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)}=\sqrt[3]{k}\) (1)
Thay vào VP ta được :
\(VP=\sqrt[3]{\frac{k}{x^3}}+\sqrt[3]{\frac{k}{y^3}}+\sqrt[3]{\frac{k}{z^3}}=\frac{\sqrt[3]{k}}{x}+\frac{\sqrt[3]{k}}{y}+\frac{\sqrt[3]{k}}{z}=\sqrt[3]{k}\cdot\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\)
\(=\sqrt[3]{k}\) (2)
Từ (1) và (2) \(\Rightarrow VT=VP\)
Ta có đpcm.
Ta có: \(ax^3+by^3+cz^3=\frac{ax^3}{x}+\frac{by^3}{y}+\frac{cz^3}{z}\)
mà \(ax^3=by^3=cz^3\)
\(\Rightarrow ax^3\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)=ax^3\)
\(\Rightarrow\sqrt[3]{ax^3+by^3+cz^3}=x\sqrt[3]{a}\\ \Leftrightarrow\frac{\sqrt[3]{ax^3+by^3+cz^3}}{x}=\sqrt[3]{a}\\ \Leftrightarrow\sqrt[3]{ax^3+by^3+cz^3}.\frac{1}{x}=\sqrt[3]{a}\)
Tương tự, ta có:
\(\sqrt[3]{ax^3+by^3+cz^3}.\frac{1}{y}=\sqrt[3]{b}\)
\(\sqrt[3]{ax^3+by^3+cz^3}.\frac{1}{z}=\sqrt[3]{c}\)
Cộng vế theo vế các đẳng thức, ta có:
\(\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\sqrt[3]{ax^3+by^3+cz^3}=\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}+\sqrt[3]{c}\\ =\sqrt[3]{ax^3+by^3+cz^3}=\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}+\sqrt[3]{c}\left(đpcm\right)\)
Chúc bạn học tốt!
\(ax^3=by^3=cz^3\Rightarrow\frac{ax^2}{\frac{1}{x}}=\frac{by^2}{\frac{1}{y}}=\frac{cz^2}{\frac{1}{z}}=\frac{ax^2+by^2+cz^2}{1}\)
=> \(ax^2+by^2+cz^2=ax^3+by^3+cz^3\)
=> \(\sqrt[3]{ax^2+by^2+cz^2}=\sqrt[3]{ax^3}=\sqrt[3]{by^3}=\sqrt[3]{cz^3}=x\sqrt[3]{a}=y\sqrt[3]{b}=z\sqrt[3]{c}\) (1)
=> \(\frac{\sqrt[3]{a}}{\frac{1}{x}}=\frac{\sqrt[3]{b}}{\frac{1}{y}}=\frac{\sqrt[3]{c}}{\frac{1}{z}}=\frac{\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}+\sqrt[3]{c}}{\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}}=\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}+\sqrt[3]{c}\) (2)
Tu (1) va (2) ta co dpcm
Chuc bn hoc tot !!!
đặt \(ax^3=by^3=cz^3=k^3\) thì \(a=\frac{k^3}{x^3};b=\frac{k^3}{y^3};c=\frac{k^3}{z^3}\)
\(\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}+\sqrt[3]{c}=\frac{k}{x}+\frac{k}{y}+\frac{k}{z}=k\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)=k\)
Mặt khác : \(ax^2+by^2+cz^2=\frac{ax^3}{x}+\frac{by^3}{y}+\frac{cz^3}{z}=\frac{k^3}{x}+\frac{k^3}{y}+\frac{k^3}{z}=k^3\)
\(\Rightarrow\sqrt[3]{ax^2+by^2+cz^2}=k\)
Do đó , ta có đpcm
Gọi vế trái là T, vế phải là P, ta có:
\(T=\sqrt[3]{\frac{ax^3}{x}+\frac{by^3}{y}+\frac{cz^3}{z}}=\sqrt[3]{\frac{ax^3}{x}+\frac{ax^3}{y}+\frac{qx^3}{z}}\)
\(T=\sqrt[3]{ax^3\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)}=x\sqrt[3]{a}\)
\(\Rightarrow\sqrt[3]{a}=\frac{T}{x}\)
Tương tự \(\sqrt[3]{b}=\frac{T}{y};\sqrt[3]{c}=\frac{T}{z}\)
Vậy\(P=T\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)=T\)