Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Nếu n > 3 thì vì n là nguyên tố nên n chia cho 3 dư 1 hoặc 2 => \(n=3k\pm1\)
Suy ra \(n^2+2=9k^2+3\) chia hết cho 3. Trái với giả thiết \(n^2+2\) là số nguyên tố.
Vậy n chỉ có thể bằng 3. Khi đó \(n;n^2+2;n^3+2\) lần lượt là \(3;11;29\) đều là số nguyên tố.
etetrttymrturfgdfeeeyeeegguthkxgdzyyyzrzeeerrttytjjmetetetetethehtemeteteetu,o;/o
7lkyuxrxytwtqtwyer
p=2 thì p^2+2=6(loại vì 6 ko là số nguyên tố)
p=3 thì p^2+2=11(chọn vì 11 là số nguyên tố)
=>p^3+2=3^3+2=29 (là số nguyên tố)
p>3
vì p là số nguyên tố =>p ko chia hết cho 3 (1)
p thuộc Z =>p^2 là số chính phương (2)
từ (1),(2)=>p^2 chia 3 dư 1
=>p^2+2 chia hết cho 3 (3)
mặt khác p>3
=>p^2>9
=>p^2+2>11 (4)
từ (3),(4)=>p^2+2 ko là số nguyên tố (trái với đề bài)
Vậy ...
\(+,p=2\Rightarrow p^2+2=4\left(\text{vô lí}\right)\)
\(+,p=3\Rightarrow p^2+2=11;p^3+2=29\left(\text{là các số nguyên tố}\right)\)
\(+,p>3\Rightarrow p=3k+1\text{ hoặc }3k+2\left(k\text{ nguyên dương}\right)\Rightarrow p^2\text{ chia 3 dư 1}\Rightarrow p^2+2\text{ chia hết cho 3};>3\)
\(\left(vôli\right)\)
Ta có đpcm
Nếu p>3 mà p là số nguyên tố nên p ko chia hết cho 3
\(\Rightarrow p^2\equiv1\left(mod3\right)\Rightarrow p^2+2\equiv0\left(mod3\right)\)
Mà \(p^2+2>3\)nên \(p^2+2\)là hợp số(Trái với giả thiết)
Do đó \(p\le3\)mà p là số nguyên tố nên \(p\in\left\{2;3\right\}\)
Với p=2 thì \(p^2+2=2^2+2=6\)là hợp số (Trái với giả thiết)
Vậy p=3 suy ra\(p^3+2=3^3+2=29\)là số nguyên tố(đpcm)