HT
1
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
M
14 tháng 8 2020
Ta có : \(\frac{a+b}{2}\ge\sqrt{ab}\) (1)
\(\Leftrightarrow a+b\ge2\sqrt{ab}\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)^2\ge4ab\)
\(\Leftrightarrow a^2+2ab+b^2-4ab\ge0\)
\(\Leftrightarrow a^2-2ab+b^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\ge0\)(2)
Bất đẳng thức 2 luôn đúng với \(\forall x\),vậy nên bất đẳng thức 1 cũng luôn đúng với mọi x .
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(\left(a-b\right)^2=0\)
=> a-b=0 => a=b
Vậy BDT \(\frac{a+b}{2}\ge\sqrt{ab}\) xảy ra khi a = b
áp dụng ta có :
\(\frac{a+b}{2}\ge\sqrt{ab}\left(1\right)\)
\(\frac{b+c}{2}\ge\sqrt{bc}\left(2\right)\)
\(\frac{a+c}{2}\ge\sqrt{ca}\) (3)
từ 1,2,3 cộng từng ba bất đẳng thức ta được : \(\frac{a+b}{2}+\frac{b+c}{2}+\frac{c+a}{2}\ge\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}\)
\(\Leftrightarrow\frac{a+b+b+c+c+a}{2}\ge\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}\)
\(\Leftrightarrow\frac{2\left(a+b+c\right)}{a+b+c}\ge\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}\)
\(\Leftrightarrow a+b+c\ge\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}\)
Mở rộng kết quả cho 4 số a,b,c,d không âm ta có bất đẳng thức :
\(a+b+c+d\ge\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{cd}+\sqrt{da}\)
Mở rộng kết quả cho 5 số a,b,c,d,e không âm ta có bất đẳng thức :
\(a+b+c+d+e\ge\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{cd}+\sqrt{de}+\sqrt{ea}\)
14 tháng 8 2020
Ta có: \(\frac{a+b}{2}\ge\sqrt{ab}\)
\(\Leftrightarrow a+b\ge2\sqrt{ab}\)
\(\Leftrightarrow a+b-2\sqrt{ab}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^2\ge0\)(luôn đúng \(\forall a,b\ge0\))
Ta có: \(\frac{a+b}{2}\ge\sqrt{ab}\forall a,b\ge0\)
\(\frac{b+c}{2}\ge\sqrt{bc}\forall b,c\ge0\)
\(\frac{c+a}{2}\ge\sqrt{ac}\forall a,c\ge0\)
Do đó: \(\frac{a+b+b+c+c+a}{2}\ge\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ac}\forall a,b,c\ge0\)
\(\Leftrightarrow\frac{2\left(a+b+c\right)}{2}\ge\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ac}\forall a,b,c\ge0\)
\(\Leftrightarrow a+b+c\ge\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ac}\forall a,b,c\ge0\)(đpcm)
T
28 tháng 11 2019
Chỉ cần chú ý:
\(\frac{bc}{a}+\frac{ca}{b}\ge2\sqrt{\frac{bc}{a}.\frac{ca}{b}}=2c\)
Từ đó thiết lập 2 BĐT còn lại tương tự rồi cộng theo vế thu được đpcm.
28 tháng 11 2019
Áp dụng BĐT Bunhiacopxky :
\(\left(\frac{bc}{a}+\frac{ac}{b}+\frac{ab}{c}\right)\left(abc+abc+abc\right)\ge\left(ab+bc+ac\right)^2\)
\(\Leftrightarrow\frac{ab}{c}+\frac{bc}{a}+\frac{ac}{b}\ge\frac{\left(ab+bc+ac\right)^2}{3abc}\left(1\right)\)
Áp dụng BĐT Cauchy
\(\hept{\begin{cases}a^2b^2+b^2c^2\ge2ab^2c\\a^2b^2+c^2a^2\ge2a^2bc\Rightarrow a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\ge abc\left(a+b+c\right)\\b^2c^2+c^2a^2\ge2abc^2\end{cases}}\)
\(\Leftrightarrow\left(ab+bc+ac\right)^2\ge3\left(a+b+c\right)\left(2\right)\)
Từ (1) và (2) \(\Rightarrow\frac{ab}{c}+\frac{bc}{a}+\frac{ac}{b}\ge a+b+c\left(đpcm\right)\)
Dấu " = " xảy ra khi \(a=b=c\)
Chúc bạn học tốt !!!
UK
8 tháng 10 2017
a) \(a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca\)
\(\Leftrightarrow2a^2+2b^2+2c^2\ge2ab+2bc+2ca\)
\(\Leftrightarrow a^2-2ab+b^2+b^2-2bc+c^2+c^2-2ca+a^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\ge0\)
(Luôn đúng)
Vậy ta có đpcm.
Đẳng thức khi \(a=b=c\)
b) \(a^2+b^2+1\ge ab+a+b\)
\(\Leftrightarrow2a^2+2b^2+2\ge2ab+2a+2b\)
\(\Leftrightarrow a^2-2ab+b^2+b^2-2b+1+a^2-2a+1\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2+\left(b-1\right)^2+\left(a-1\right)^2\ge0\)
(Luôn đúng)
Vậy ta có đpcm
Đẳng thức khi \(a=b=1\)
Các bài tiếp theo tương tự :v
g) \(a^2\left(1+b^2\right)+b^2\left(1+c^2\right)+c^2\left(1+a^2\right)=a^2+a^2b^2+b^2+b^2c^2+c^2+c^2a^2\ge6\sqrt[6]{a^2.a^2b^2.b^2.b^2c^2.c^2.c^2a^2}=6abc\)
i) \(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\ge2\sqrt{\dfrac{1}{a}.\dfrac{1}{b}}=\dfrac{2}{\sqrt{ab}}\)
Tương tự: \(\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\ge\dfrac{2}{\sqrt{bc}};\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{a}\ge\dfrac{2}{\sqrt{ca}}\)
Cộng vế theo vế rồi rút gọn cho 2, ta được đpcm
j) Tương tự bài i), áp dụng Cauchy, cộng vế theo vế rồi rút gọn được đpcm
3 tháng 5 2018
bạn giải dùm mình bài này nhé Tìm x biết: 2+2+22 +23+24+...+22014=2x. Ai giúp mình giải bài này với
3 tháng 5 2018
bạn giải dùm mình bài này nhé Tìm x biết: 2+2+22 +23+24+...+22014=2x. Ai giúp mình giải bài này với
L
0
\(a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca\)
\(\Leftrightarrow2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2ac-2bc\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a^2-2ab+b^2\right)+\left(b^2-2bc+c^2\right)+\left(c^2-2ac+a^2\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\ge0\forall a,b,c\)( luôn đúng )
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a-b=0\\b-c=0\\c-a=0\end{cases}\Leftrightarrow}a=b=c\)