NB
2
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
29 tháng 1 2019
Sửa đề: a,b,c,d>0
C/m: \(\left(\frac{a+b}{2}+\frac{c+d}{2}\right)^2\ge\left(a+c\right)\left(c+d\right)\)
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(\left(\frac{a+b}{2}+\frac{c+d}{2}\right)^2=\left[\frac{\left(a+c\right)+\left(b+d\right)}{2}\right]^2\ge\left[\frac{2.\sqrt{\left(a+c\right)\left(b+d\right)}}{2}\right]^2=\left(a+c\right)\left(b+d\right)\)
Dấu " = " xảy ra <=> a+c=b+d
6 tháng 2 2021
Ta có : \(\left(a-b\right)^2\ge0\forall a,b\)
\(\Rightarrow a^2+b^2-2ab\ge0\)
\(\Rightarrow a^2+b^2\ge2ab\)
\(\Rightarrow2\left(a^2+b^2\right)\ge2ab+a^2+b^2=\left(a+b\right)^2\left(1\right)\)
Chia cả 2 vế của \(\left(1\right)\)cho 4 , ta được :
\(\frac{a^2+b^2}{2}\ge\frac{\left(a+b\right)^2}{4}=\left(\frac{a+b}{2}\right)^2\)
\(\Rightarrowđpcm\)
TN
29 tháng 11 2016
1)Áp dụng Bđt Am-Gm \(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge2\sqrt{\frac{a}{b}\cdot\frac{b}{a}}=2\)
2)Áp dụng Am-Gm \(a^2+b^2\ge2\sqrt{a^2b^2}=2ab;b^2+c^2\ge2bc;a^2+c^2\ge2ca\)
\(\Rightarrow2\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge2\left(ab+bc+ca\right)\)
=>ĐPcm
3)(a+b+c)2\(\ge\)3(ab+bc+ca)
=>a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca\(\ge\)3ab+3bc+3ca
=>a2+b2+c2-ab-bc-ca\(\ge\)0
=>2a2+2b2+2c2-2ab-2bc-2ca\(\ge\)0
=>(a2-2ab+b2)+(b2-2bc+c2)+(c2-2ac+a2)\(\ge\)0
=>(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2\(\ge\)0
4)đề đúng \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}\)
\(\Leftrightarrow\frac{a+b}{ab}\ge\frac{4}{a+b}\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)^2\ge4ab\)
\(\Leftrightarrow a^2+2ab+b^2-4ab\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\ge0\)
KN
12 tháng 10 2020
\(\frac{a^2}{x}+\frac{b^2}{y}\ge\frac{\left(a+b\right)^2}{x+y}\Leftrightarrow\frac{a^2y+b^2x}{xy}\ge\frac{\left(a+b\right)^2}{x+y}\Leftrightarrow\left(a^2y+b^2x\right)\left(x+y\right)\ge xy\left(a+b\right)^2\Leftrightarrow a^2xy+b^2x^2+a^2y^2+b^2xy\ge a^2xy+b^2xy+2abxy\Leftrightarrow a^2y^2-2abxy+b^2x^2\ge0\Leftrightarrow\left(ay-bx\right)^2\ge0\)*đúng*
Đẳng thức xảy ra khi a/b = x/y
BH
0
LD
2
13 tháng 3 2019
Xét hiệu
\(\frac{a^2+b^2+c^2}{3}-\left(\frac{a+b+c}{3}\right)^2\)
\(=\frac{a^2+b^2+c^2}{3}-\frac{\left(a+b+c\right)^2}{9}\)
\(=\frac{3\left(a^2+b^2+c^2\right)}{9}-\frac{a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac}{9}\)
\(=\frac{1}{9}\left[3\left(a^2+b^2+c^2\right)-a^2-b^2-c^2-2ab-2bc-2ac\right]\)
\(=\frac{1}{9}\left(3a^2+3b^2+3c^2-a^2-b^2-c^2-2ab-2bc-2ac\right)\)
\(=\frac{1}{9}\left(2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ac\right)\)
\(=\frac{1}{9}\left[\left(a^2-2ab+b^2\right)+\left(b^2-2bc+c^2\right)+\left(c^2-2ac+a^2\right)\right]\)
\(=\frac{1}{9}\left[\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\right]\) \(\ge0\)
Vậy \(\frac{a^2+b^2+c^2}{3}\ge\left(\frac{a+b+c}{3}\right)^2\)
Dấu "=" xảy ra <=> a=b=c
G
13 tháng 3 2019
\(\frac{a^2+b^2+c^2}{3}\ge\left(\frac{a+b+c}{3}\right)^2\Leftrightarrow\frac{a^3+b^2+c^2}{3}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{9}\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}\Leftrightarrow3a^2+3b^2+3c^2\ge\left(a+b+c\right)^2\)
\(\Leftrightarrow2a^2+2b^2+2c^2\ge2ab+2bc+2ac\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\ge0\)
Các phép biến đổi là tương đương suy ra đpcm. \("="\Leftrightarrow a=b=c\)
\(\frac{a^2+2ab+b^2}{4}\ge ab\)
\(\Leftrightarrow a^2+2ab+b^2-4ab\ge0\)
\(\Leftrightarrow a^2-2ab+b^2\ge0\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\ge0\)
vì BĐT cuối đúng nên BĐT đầu đúng
Cảm ơn bạn nhiều nha....