K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
UK
8 tháng 10 2017
a) \(a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca\)
\(\Leftrightarrow2a^2+2b^2+2c^2\ge2ab+2bc+2ca\)
\(\Leftrightarrow a^2-2ab+b^2+b^2-2bc+c^2+c^2-2ca+a^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\ge0\)
(Luôn đúng)
Vậy ta có đpcm.
Đẳng thức khi \(a=b=c\)
b) \(a^2+b^2+1\ge ab+a+b\)
\(\Leftrightarrow2a^2+2b^2+2\ge2ab+2a+2b\)
\(\Leftrightarrow a^2-2ab+b^2+b^2-2b+1+a^2-2a+1\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2+\left(b-1\right)^2+\left(a-1\right)^2\ge0\)
(Luôn đúng)
Vậy ta có đpcm
Đẳng thức khi \(a=b=1\)
Các bài tiếp theo tương tự :v
g) \(a^2\left(1+b^2\right)+b^2\left(1+c^2\right)+c^2\left(1+a^2\right)=a^2+a^2b^2+b^2+b^2c^2+c^2+c^2a^2\ge6\sqrt[6]{a^2.a^2b^2.b^2.b^2c^2.c^2.c^2a^2}=6abc\)
i) \(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\ge2\sqrt{\dfrac{1}{a}.\dfrac{1}{b}}=\dfrac{2}{\sqrt{ab}}\)
Tương tự: \(\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\ge\dfrac{2}{\sqrt{bc}};\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{a}\ge\dfrac{2}{\sqrt{ca}}\)
Cộng vế theo vế rồi rút gọn cho 2, ta được đpcm
j) Tương tự bài i), áp dụng Cauchy, cộng vế theo vế rồi rút gọn được đpcm
DC
1
4 tháng 6 2018
Ta có: \(a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca\)
\(\Rightarrow2\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge2\left(ab+bc+ca\right)\)
Lại có: \(a^2+1+b^2+1+c^2+1\ge2\left(a+b+c\right)\)
\(\Rightarrow3\left(a^2+b^2+c^2\right)+3\ge2\left(ab+bc+ca+a+b+c\right)=12\)
\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2\ge3\)
Dấu = xảy ra khi a=b=c=1
PM
2
23 tháng 11 2016
Xét hiệu \(\left(a^{10}+b^{10}\right)\left(a^2+b^2\right)-\left(a^8+b^8\right)\left(a^4+b^4\right)=\left(a-b\right)^2.\left(a+b\right)^2.a^2b^2.\left(a^4+a^2b^2+b^4\right)\ge0\)
Đẳng thức xảy ra khi a = b
14 tháng 7 2018
ta có : \(a^8+b^8-a^6b^2-a^2b^6\ne\left(a^2-b^2\right)\left(a^4+a^2b^2+b^4\right)\)
và \(a^2b^2\left(a^2-b^2\right)\left(a^4+a^2b^2+b^4\right)\) cũng có thể âm
\(\Rightarrow\) sai
21 tháng 8 2017
đặt a2+b2+c2=S;ab+bc+ca=P
(a+b+c)2=9=a2+b2+c2+2(ab+bc+ca)=S+2P
áp dụng bunhia ta có:
\(\left(1+1+1\right)\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge\left(a+b+c\right)^2=3\)
\(\Rightarrow S\ge3\)
\(\Leftrightarrow27S\ge81\)
\(\Leftrightarrow81S\ge7S^2+S^2-18S+81+72S-8S^2\)
\(\Leftrightarrow81S^2\ge7S^2+\left(9-S\right)^2+8S\left(9-S\right)\)
\(\Leftrightarrow81S\ge7S^2+4P^2+16SP\)
\(\Leftrightarrow81\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge7\left(a^2+b^2+c^2\right)^2+4\left(ab+bc+ca\right)^2+16\left(ab+bc+ca\right)\left(a^2+b^2+c^2\right)\left(Q.E.D\right)\)
dấu = xảy ra khi a=b=c=1
L
0
8 tháng 5 2019
Vì a;b;c là 3 cạnh của tam giác nên mỗi nhân tử của VP đều dương,áp dụng bđt Cauchy:
\(\sqrt{\left(a+b-c\right)\left(b+c-a\right)}\le\frac{a+b-c+b+c-a}{2}=b\)
\(\sqrt{\left(b+c-a\right)\left(a+c-b\right)}\le\frac{b+c-a+a+c-b}{2}=c\)
\(\sqrt{\left(a+c-b\right)\left(a+b-c\right)}\le\frac{a+c-b+a+b-c}{2}=a\)
Nhân theo vế => ddpcm "=" khi a=b=c
+\(ab< 0\)thì \(VT\ge0>VP\), bđt đúng
+Xét \(ab\ge0\)
\(\left(a^2+b^2\right)^2=\left(a^2+b^2\right)\left(a^2+b^2\right)\ge2ab.\frac{\left(a+b\right)^2}{2}=ab\left(a+b\right)^2\)
(a2+b2)2\(\ge\)ab(a+b)2
<=>a4+b4+2a2b2\(\ge\)a3b+2a2b2+ab3
<=>a4-a3b+b4-ab3\(\ge\)0
<=>a3.(a-b)-b3.(a-b)\(\ge\)0
<=>(a-b)(a3-b3)\(\ge\)0
<=>(a-b)2.(a2+b2+ab)\(\ge\)(luôn đúng với mọi a,b)
=>dpcm