Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
2/ Ta có \(\left(a+b+c+d\right)^2\ge\frac{8}{3}\left(ab+ac+ad+bc+bd+cd\right)\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+d^2+2\left(ab+ac+ad+bc+bd+cd\right)\ge\frac{8}{3}\left(ab+ac+ad+bc+bd+cd\right)\)
\(\Leftrightarrow3\left(a^2+b^2+c^2+d^2\right)+6\left(ab+ac+ad+bc+bd+cd\right)\ge8\left(ab+ac+ad+bc+bd+cd\right)\)
\(\Leftrightarrow\left(a^2-2ab+b^2\right)+\left(a^2-2ac+c^2\right)+\left(a^2-2ad+d^2\right)+\left(b^2-2bc+c^2\right)+\left(b^2-2bd+d^2\right)+\left(c^2-2cd+d^2\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2+\left(a-c\right)^2+\left(a-d\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(b-d\right)^2+\left(c-d\right)^2\ge0\)(luôn đúng)
Vậy bđt ban đầu được chứng minh.
b1: ta có: a^2+b^2 >0 ; b^2 +c^2>0 ; c^2 +a^2>0
=> \(a^2+b^2\ge2\sqrt{a^2.b^2}\) (BĐT cau chy)
\(b^2+c^2\ge2\sqrt{b^2.c^2}\) (BĐT cau chy)
\(c^2+a^2\ge2\sqrt{c^2.a^2}\)(BĐT cauchy)
=>\(\left(a^2+b^2\right)\left(b^2+c^2\right)\left(c^2+a^2\right)\ge8a^2.b^2.c^2\)
Dấu '= xảy ra khi a=b=c (đpcm)
Câu 1: Rút gọn
a. (x+y)2 + (x-y)2
=x2+2xy+y2+x2-2xy+y2=2x2+2y2
b. 2.(x-y) . (x+y) + (x+y)2 + (x-y)2
=2.(x2-y2)+2x2+2y2=4x2
c. (x-y+z)2 + (z-y)2 +2.(x-y+z) . (z-y)
=x2+y2+z2-2xy-2yz+2zx+z2-2yz+y2+2.(xz-xy-yz+y2+z2-zy)
=x2+2y2+2z2-2xy+2zx-4yz+2xz-2xy-4yz+2y2+2z2
=x2+4y2+4z2-4xy-8yz+4xz
Câu 2: Chứng minh
(ac+bd)2 + (ad-bc)2=a2c2+2abcd+b2d2+a2d2-2abcd+b2c2= a2c2+b2d2+a2d2+b2c2 =(a2+b2) . (c2+d2)
Câu 1:
a. \(\left(x+y\right)^2+\left(x-y\right)^2\)
\(=x^2+2xy+y^2+x^2-2xy+y^2\)
\(=2\left(x^2+y^2\right)\)
b. \(2\left(x-y\right)\left(x+y\right)+\left(x+y^2\right)+\left(x-y\right)^2\)
\(=\left(x+y\right)^2+2\left(x+y\right)\left(x-y\right)+\left(x-y\right)^2\)
\(=\left(x+y+x-y\right)^2\)
\(=\left(2x\right)^2\)
\(=4x^2\)
(ac+bd)(bc+ad)=0
<=>abc2 a2cd+b2cd+abd2=0
<=>ab(c2+d2)+cd(a2+b2)=0
<=>ab+cd=0
Giải:
Ta có: \(VP=\left(ac+bd\right)^2+\left(ad-bc\right)^2\)
\(=a^2c^2+2acbd+b^2d^2+a^2d^2-2abcd+b^2c^2\)
\(=a^2c^2+b^2d^2+a^2d^2+b^2c^2\)
\(=c^2\left(a^2+b^2\right)+d^2\left(a^2+b^2\right)\)
\(=\left(a^2+b^2\right)\left(c^2+d^2\right)+VT\) (Đpcm)
Vẽ BO vuông góc AC tại O
DO phải cắt một trong 2 đoạn thẳng DC,DA. Giả sử BO cắt CD
Trên BO lấy E sao cho CD=CE
Tứ giác ABCE có:
AB2+CE2=BC2+AE2AB2+CE2=BC2+AE2
⇒AB2+CD2=BC2+AE2⇒AB2+CD2=BC2+AE2
Mà ⇒AB2+CD2=BC2+AD2⇒AB2+CD2=BC2+AD2
⇒D≡E⇒D≡E
⇒⇒ BD vuông góc AC.
⇒SABCD=BD.AC2⇒SABCD=BD.AC2
Nếu BD.AC2=AC2+BD24⇔(AC−BD)2=0BD.AC2=AC2+BD24⇔(AC−BD)2=0
Đẳng thức này chỉ xảy ra khi AC=BD
a: \(\left(ac+bd\right)^2+\left(ad-bc\right)^2\)
\(=a^2c^2+b^2d^2+2bacd+a^2d^2+b^2c^2-2bacd\)
\(=a^2\left(c^2+d^2\right)+b^2\left(c^2+d^2\right)\)
\(=\left(a^2+b^2\right)\left(c^2+d^2\right)\)
b: \(\Leftrightarrow2a^2+2b^2+2c^2=2ba+2ac+2bc\)
=>\(\left(a^2-2ab+b^2\right)+\left(b^2-2bc+c^2\right)+\left(a^2-2ac+c^2\right)=0\)
=>(a-b)^2+(b-c)^2+(a-c)^2=0
=>a=b=c
\(x^2+y^2+z^2+3\ge2\left(x+y+z\right)\)
\(\Leftrightarrow\)\(x^2+y^2+z^2+3-2x-2y-2z\ge0\)
\(\Leftrightarrow\)\(\left(x^2-2x+1\right)+\left(y^2-2y+1\right)+\left(z^2-2z+1\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\)\(\left(x-1\right)^2+\left(y-1\right)^2+\left(z-1\right)^2\ge0\)
Dáu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\) \(x=y=z=1\)
a,b,c,d > 0 ta có:
- a < b nên a.c < b.c
- c < d nên c.b < d.b
Áp dụng tính chất bắc cầu ta được: a.c < b.c < b.d hay a.c < b.d (đpcm)
\(\left(ac+bd\right)^2+\left(ad-bc\right)^2\)
\(=a^2c^2+2acbd+b^2d^2+a^2d^2-2adbc+b^2c^2\)
\(=a^2c^2+b^2d^2+a^2d^2+b^2c^2\)
\(=\left(a^2c^2+b^2c^2\right)+\left(b^2d^2+a^2d^2\right)\)
\(=c^2\left(a^2+b^2\right)+d^2\left(a^2+b^2\right)\)
\(=\left(a^2+b^2\right)\left(c^2+d^2\right)\)
Vậy \(\left(a^2+b^2\right)\left(c^2+d^2\right)=\left(ac+bd\right)^2+\left(ad-bc\right)^2\)
Câu trả lời hay nhất: a/
Đẳng thức <=> (ac)² + (ad)² + (bc)² + (bd)² = (ac)² + (ad)² + (bc)² + (bd) + 2ac.bd - 2ad.bc
<=> 2.ad.bc - 2.ad.bc = 0
<=> 0 = 0 ( đúng ) => đẳng thức đã cho đúng
b/
Đẳng thức <=> 2a² + 2b² + 2c² = 2ab + 2bc + 2ac
<=> a² - 2ab + b² + b² - 2bc + c² + c² - 2ac + a² = 0
<=> ( a - b)² + ( b - c)² + ( c - a)² = 0
<=> (a - b)² = 0 và (b - c)² = 0 và (c - a)² = 0
<=> a - b = 0 và b - c = 0 và c - a = 0
<=> a = b, b = c, c = a => a = b = c
(vì tổng 3 số hk âm = 0 khi mỗi số điều = 0)
c/ từ giả thuyết => a + b = -c,
ta có:
a³ + b³ + c³ -3abc = ( a + b)³ - 3ab( a + b) + c³ -3abc = -c³ + 3abc + c³ - 3abc = 0
( vì a³ + b³ = ( a + b)( a² - ab + b²) = (a + b)( (a + b)² - 3ab ) = ( a + b)³ - 3ab( a + b)
=> ĐPCM
Nguồn:Chúc bạn luôn vui vẻ