Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Ta có : \(A^2=\frac{x^2}{y}+\frac{y^2}{z}+\frac{z^2}{x}+\frac{2x\sqrt{y}}{\sqrt{z}}+\frac{2y\sqrt{z}}{\sqrt{x}}+\frac{2z\sqrt{x}}{\sqrt{y}}\)
Áp dụng BĐT Cô-si cho 4 số dương,ta có ;
\(\frac{x^2}{y}+\frac{x\sqrt{y}}{\sqrt{z}}+\frac{x\sqrt{y}}{\sqrt{z}}+z\ge4\sqrt[4]{\frac{x^2.x^2.y.z}{yz}}=4x\)
Tương tự : ....
\(\Rightarrow A^2\ge4\left(x+y+z\right)-\left(x+y+z\right)=3\left(x+y+z\right)\ge36\)
\(\Rightarrow A\ge6\)
Dấu "=" xảy ra khi x = y = z = 4
Đặt \(\left(\sqrt{x};\sqrt{y};\sqrt{z}\right)\rightarrow\left(a;b;c\right)\)
Khi đó \(a^2+b^2+c^2\ge12\) ta cần tìm GTNN của \(A=\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}\)
\(\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}+a+b+c\ge2\sqrt{\left(\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}\right)\left(a+b+c\right)}\)
Ta có:\(\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}\ge\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{a^2b+b^2c+c^2a}\)
Mà \(\left(a^2+b^2+c^2\right)\left(a+b+c\right)\ge3\left(a^2+b^2+c^2\right)\) ( cơ bản )
\(\Rightarrow\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}+a+b+c\ge2\sqrt{3\left(a^2+b^2+c^2\right)}=12\)
\(\Rightarrow\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}\ge12-\left(a+b+c\right)\)
Chứng minh được \(a+b+c\le6\) là OKE nhưng có vẻ không ổn lắm :))
TA có \(P^2=\dfrac{x^2}{y}+\dfrac{y^2}{z}+\dfrac{z^2}{x}+2\left(\dfrac{xy}{\sqrt{yz}}+\dfrac{yz}{\sqrt{zx}}+\dfrac{zx}{\sqrt{xy}}\right)\)
Áp dụng BĐt AM-GM, ta có \(\dfrac{x^2}{y}+\dfrac{xy}{\sqrt{yz}}+\dfrac{xy}{\sqrt{yz}}+z\ge4x\)
tương tự rồi cộng lại, ta có \(P^2+\left(x+y+z\right)\ge4\left(x+y+z\right)\Rightarrow P^2\ge3\left(x+y+z\right)\ge36\Rightarrow P\ge6\)
dấu = xảy ra <=> x=y=z=4
bài 3:
a, đặt x12=y9=z5=kx12=y9=z5=k
=>x=12k,y=9k,z=5k
ta có: ayz=20=> 12k.9k.5k=20
=> (12.9.5)k^3=20
=>540.k^3=20
=>k^3=20/540=1/27
=>k=1/3
=>x=12.1/3=4
y=9.1/3=3
z=5.1/3=5/3
vậy x=4,y=3,z=5/3
b,ta có: x5=y7=z3=x225=y249=z29x5=y7=z3=x225=y249=z29
A/D tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:
x5=y7=z3=x225=y249=z29=x2+y2−z225+49−9=58565=9x5=y7=z3=x225=y249=z29=x2+y2−z225+49−9=58565=9
=>x=5.9=45
y=7.9=63
z=3*9=27
vậy x=45,y=63,z=27
\(\sqrt{x}+\sqrt{y}=\sqrt{z}\Rightarrow x+y+2\sqrt{xy}=z\Rightarrow x+y-z=-2\sqrt{xy}\)
\(\sqrt{x}-\sqrt{z}=\sqrt{y}\Rightarrow x+z-2\sqrt{xz}=y\Rightarrow z+x-y=2\sqrt{xz}\)
Tương tự:\(y+z-x=2\sqrt{yz}\)
\(A=\frac{1}{-2\sqrt{xy}}+\frac{1}{2\sqrt{yz}}+\frac{1}{2\sqrt{zx}}=\frac{1}{2}\left(\frac{\sqrt{x}+\sqrt{y}-\sqrt{z}}{\sqrt{xyz}}\right)=0\)
Lời giải:
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có:
\(M=\frac{x}{\sqrt{y}}+\frac{y}{\sqrt{z}}+\frac{z}{\sqrt{x}}=\frac{x^2}{x\sqrt{y}}+\frac{y^2}{y\sqrt{z}}+\frac{z^2}{z\sqrt{x}}\)
\(\geq \frac{(x+y+z)^2}{x\sqrt{y}+y\sqrt{z}+z\sqrt{x}}(1)\)
Áp dụng BĐT Bunhiacopxky:
\((x\sqrt{y}+y\sqrt{z}+z\sqrt{x})^2\leq (x+y+z)(xy+yz+xz)\)
Mà theo hệ quả quen thuộc của BĐT Cauchy thì:
\(xy+yz+xz\leq \frac{(x+y+z)^2}{3}\)
\(\Rightarrow (x\sqrt{y}+y\sqrt{z}+z\sqrt{x})^2\leq \frac{(x+y+z)^3}{3}\)
\(\Rightarrow x\sqrt{y}+y\sqrt{z}+z\sqrt{x}\leq \sqrt{\frac{(x+y+z)^3}{3}}(2)\)
Từ \((1);(2)\Rightarrow M\geq \sqrt{3(x+y+z)}\geq \sqrt{3.12}=6\)
Vậy \(M_{\min}=6\Leftrightarrow x=y=z=4\)