Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Ta có:
\(xy+yz+zx=\frac{\left(x+y+z\right)^2-x^2-y^2-z^2}{2}=\frac{7^2-23}{2}=13\)
Ta lại có:
\(xy+z-6=xy+z+1-x-y-z=\left(x-1\right)\left(y-1\right)\)
\(\Rightarrow A=\frac{1}{\left(x-1\right)\left(y-1\right)}+\frac{1}{\left(y-1\right)\left(z-1\right)}+\frac{1}{\left(z-1\right)\left(x-1\right)}\)
\(=\frac{x+y+z-3}{xyz-xy-yz-zx+x+y+z-1}=-1\)
Bài \(1a.\) Tìm \(x,y,z\) biết \(x^2+4y^2=2xy+1\) \(\left(1\right)\) và \(z^2=2xy-1\) \(\left(2\right)\)
Cộng \(\left(1\right)\) và \(\left(2\right)\) vế theo vế, ta được:
\(x^2+4y^2+z^2=4xy\)
\(\Leftrightarrow\) \(x^2-4xy+4y^2+z^2=0\)
\(\Leftrightarrow\) \(\left(x-2y\right)^2+z^2=0\)
Do \(\left(x-2y\right)^2\ge0\) và \(z^2\ge0\) với mọi \(x,y,z\)
nên để thỏa mãn đẳng thức trên thì phải đồng thời xảy ra \(\left(x-2y\right)^2=0\) và \(z^2=0\)
\(\Leftrightarrow\) \(^{x-2y=0}_{z^2=0}\) \(\Leftrightarrow\) \(^{x=2y}_{z=0}\)
Từ \(\left(2\right)\), với chú ý rằng \(x=2y\) và \(z=0\), ta suy ra:
\(2xy-1=0\) \(\Leftrightarrow\) \(2.\left(2y\right).y-1=0\) \(\Leftrightarrow\) \(4y^2-1=0\) \(\Leftrightarrow\) \(y^2=\frac{1}{4}\) \(\Leftrightarrow\) \(y=\frac{1}{2}\) hoặc \(y=-\frac{1}{2}\)
\(\text{*)}\) Với \(y=\frac{1}{2}\) kết hợp với \(z=0\) \(\left(cmt\right)\) thì \(\left(2\right)\) \(\Rightarrow\) \(2.x.\frac{1}{2}-1=0\) \(\Leftrightarrow\) \(x=1\)
\(\text{*)}\) Tương tự với trường hợp \(y=-\frac{1}{2}\), ta cũng dễ dàng suy ra được \(x=-1\)
Vậy, các cặp số \(x,y,z\) cần tìm là \(\left(x;y;z\right)=\left\{\left(1;\frac{1}{2};0\right),\left(-1;-\frac{1}{2};0\right)\right\}\)
\(b.\) Vì \(x+y+z=1\) nên \(\left(x+y+z\right)^2=1\)
\(\Leftrightarrow\) \(x^2+y^2+z^2+2\left(xy+yz+xz\right)=1\) \(\left(3\right)\)
Mặt khác, ta lại có \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=0\) \(\Rightarrow\) \(xy+yz+xz=0\) \(\left(4\right)\) (do \(xyz\ne0\))
Do đó, từ \(\left(3\right)\) và \(\left(4\right)\) \(\Rightarrow\) \(x^2+y^2+z^2=1\)
Vậy, \(B=1\)
X3 + Y3 + Z3 = 3XYZ
<=> X3 + Y3 + Z3 - 3XYZ = 0
<=> ( X3 + Y3 ) + Z3 - 3XYZ = 0
<=> ( X + Y )3 - 3XY( X + Y ) + Z3 - 3XYZ = 0
<=> [ ( X + Y )3 + Z3 ] - 3XY( X + Y + Z ) = 0
<=> ( X + Y + Z )[ ( X + Y )2 - ( X + Y ).Z + Z2 - 3XY ] = 0
<=> ( X + Y + Z )( X2 + Y2 + Z2 - XY - YZ - XZ ) = 0
<=> \(\orbr{\begin{cases}X+Y+Z=0\\X^2+Y^2+Z^2-XY-YZ-XZ=0\end{cases}}\)
+) X + Y + Z = 0 => \(\hept{\begin{cases}X+Y=-Z\\Y+Z=-X\\X+Z=-Y\end{cases}}\)
KHI ĐÓ : \(M=\left(1+\frac{X}{Y}\right)\left(1+\frac{Y}{Z}\right)\left(1+\frac{Z}{X}\right)=\left(\frac{X+Y}{Y}\right)\left(\frac{Y+Z}{Z}\right)\left(\frac{X+Z}{X}\right)=\frac{-Z}{Y}\cdot\frac{-X}{Z}\cdot\frac{-Y}{X}=-1\)
+) X2 + Y2 + Z2 - XY - YZ - XZ = 0
<=> 2( X2 + Y2 + Z2 - XY - YZ - XZ ) = 0
<=> 2X2 + 2Y2 + 2Z2 - 2XY - 2YZ - 2XZ = 0
<=> ( X2 - 2XY + Y2 ) + ( Y2 - 2YZ + Z2 ) + ( X2 - 2XZ + Z2 ) = 0
<=> ( X - Y )2 + ( Y - Z )2 + ( X - Z )2 = 0 (1)
DỄ DÀNG CHỨNG MINH (1) ≥ 0 ∀ X,Y,Z
DẤU "=" XẢY RA <=> X = Y = Z
KHI ĐÓ : \(M=\left(1+\frac{X}{Y}\right)\left(1+\frac{Y}{Z}\right)\left(1+\frac{Z}{X}\right)=\left(1+\frac{Y}{Y}\right)\left(1+\frac{Z}{Z}\right)\left(1+\frac{X}{X}\right)=2\cdot2\cdot2=8\)
\(x+y+z=7\Rightarrow z=7-x-y\Rightarrow xy+z-6=xy+7-x-y-6=xy-x-y+1\)
\(=\left(x-1\right)\left(y-1\right)\)
Tương tự: \(yz+x-6=\left(y-1\right)\left(z-1\right);zx+y-6=\left(z-1\right)\left(x-1\right)\)
Viết lại: \(H=\frac{1}{\left(x-1\right)\left(y-1\right)}+\frac{1}{\left(y-1\right)\left(z-1\right)}+\frac{1}{\left(z-1\right)\left(x-1\right)}\)
\(=\frac{x-1+y-1+z-1}{\left(x-1\right)\left(y-1\right)\left(z-1\right)}=\frac{x+y+z-3}{xyz-\left(xy+yz+zx\right)+x+y+z-1}\)
\(=\frac{7-3}{3-13+7-1}=-1\)(Từ gt tính được \(xy+yz+zx=13\))
Ta có :
\(xy+yz+zx\)= \(\frac{\left(x+y+z\right)^2-x^2-y^2-z^2}{2}\)= \(\frac{7^2-23}{2}\)= \(13\)
Ta lại có :
\(xy+z-6=xy+z+1-x-y-z\)= \(\left(x-1\right)\left(y-1\right)\)
\(\Rightarrow A=\)\(\frac{1}{\left(x-1\right)\left(y-1\right)}\)\(+\)\(\frac{1}{\left(y-1\right)\left(z-1\right)}\)\(+\)\(\frac{1}{\left(z-1\right)\left(x-1\right)}\)
\(=\)\(\frac{x+y+z-3}{xyz-xy-yz-zx+x+y+z-1}\)
\(=-1\)
\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\sqrt{3}\)
\(\Leftrightarrow\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)^2=3\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}+2\left(\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{zx}\right)=3\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}+\frac{2\left(x+y+z\right)}{xyz}=3\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}+\frac{2xyz}{xyz}=3\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}+2=3\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}=1\)