Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
đặt \(A=x^2+y^2+2x\left(y-1\right)+2y=x^2+y^2+2xy-2x+2y=\left(x+y\right)^2-2\left(x-y\right)\)
do A là số chính phương => \(\left(x+y\right)^2-2\left(x+y\right)\)cũng là số chính phương
\(\Leftrightarrow-2\left(x-y\right)=0\)
\(\Leftrightarrow x=y\)
Bạn ngonhuminh, chứng minh chỗ (1) sai rồi nhé.
Khi gọi \(d=gcd\left(x-y,2\left(x+y\right)+1\right)\) thì lúc này chưa có \(d=1\).
Vậy \(y^2⋮d\) không suy ra được \(y⋮d\) đâu nha bạn.
Tuy nhiên lời giải có thể sửa lại dễ dàng như sau:
Giả sử \(x-y\) và \(2\left(x+y\right)+1\) không nguyên tố cùng nhau, tức là sẽ có ước NGUYÊN TỐ chung lớn nhất.
Gọi số đó là \(p\). Lúc này \(y^2⋮p\Rightarrow y⋮p\). CM tương tự của bạn suy ra \(p=1\) (vô lí).
Vậy \(x-y\) và \(2\left(x+y\right)+1\) nguyên tố cùng nhau.
\(2x^2+x=3y^2+y\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}\left(x-y\right)\left\{2\left(x+y\right)+1\right\}=y^2\left(1\right)\\\left(x-y\right)\left\{3\left(x+y\right)+1\right\}=x^2\left(2\right)\end{cases}}\)
Vế trái là số Cp=> VP cũng phải là số CP
Trước hết Ta c/m hai thừa số VT là nguyên tố cùng nhau
(1) g/s d là ước lớn nhất của (x-y) và 2(x+y)+1 => y cũng phải chia hết d
\(2\left(x+y\right)+1-2\left(x-y\right)=3y+1\Rightarrow d=1\)
(2)g/s d là ước lớn nhất của (x-y) và 3(x+y)+1 => x cũng phải chia hết d
\(3\left(x+y\right)+1+3\left(x-y\right)=6x+1\Rightarrow d=1\)
=>VT là số Cp xẩy hai trường hợp
TH1: cả ba thừa số đó bằng nhau
\(\left(x-y\right)=2\left(x+y\right)+1=3\left(x+y\right)+1\)Nghiệm duy nhất x=y=0 => x-y=0; 2(x+y)+1=3(x+y)+1=1 đều là số Cp
TH2: Cả hai thừa số VT là số Cp (**)
(*) (**) Hiển nhiên đúng=> dpcm
:) Đề đúng là \(x^2+y^2+m^2+n^2\)là tổng của 3 số chính phương :)
- Có \(x+y=m+n\)
\(\Rightarrow x=m+n-y\)
Thay \(x=m+n-y\)có :
\(x^2+y^2+m^2+n^2\)
\(=\left(m+n-y\right)^2+m^2+n^2\)
\(=\left(m^2+n^2+y^2+2mn-2my-2ny\right)+m^2+n^2\)
\(=m^2+n^2+y^2+2mn-2my-2ny+m^2+n^2\)
\(=\left(m^2+n^2+2mn\right)+\left(n^2+y^2-2ny\right)+\left(m^2+y^2-2my\right)\)
\(=\left(m+n\right)^2+\left(n-y\right)^2+\left(m-y\right)^2\)
- Vậy ....
