Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Ta có:
\(\left(\sqrt{\dfrac{a^3}{5a^2+\left(b+c\right)^2}}+\sqrt{\dfrac{b^3}{5b^2+\left(c+a\right)^2}}+\sqrt{\dfrac{c^3}{5c^2+\left(a+b\right)^2}}\right)^2\le\left(a+b+c\right)\left(\dfrac{a^2}{5a^2+\left(b+c\right)^2}+\dfrac{b^2}{5b^2+\left(c+a\right)^2}+\dfrac{c^2}{5c^2+\left(a+b\right)^2}\right)\left(1\right)\)
Giờ ta chứng minh:
\(P=\dfrac{a^2}{5a^2+\left(b+c\right)^2}+\dfrac{b^2}{5b^2+\left(c+a\right)^2}+\dfrac{c^2}{5c^2+\left(a+b\right)^2}\le\dfrac{1}{3}\)
Ta có:
\(\dfrac{a^2}{5a^2+\left(b+c\right)^2}\le\dfrac{a^2}{9}\left(\dfrac{1}{a^2+b^2+c^2}+\dfrac{1}{2a^2+bc}+\dfrac{1}{2a^2+bc}\right)=\dfrac{1}{9}\left(\dfrac{a^2}{a^2+b^2+c^2}+\dfrac{2a^2}{2a^2+bc}\right)=\dfrac{1}{9}+\dfrac{1}{9}\left(\dfrac{a^2}{a^2+b^2+c^2}-\dfrac{bc}{2a^2+bc}\right)\)
Tương tự ta có:
\(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{b^2}{5b^2+\left(c+a\right)^2}\le\dfrac{1}{9}+\dfrac{1}{9}\left(\dfrac{b^2}{a^2+b^2+c^2}-\dfrac{ca}{2b^2+ca}\right)\\\dfrac{c^2}{5c^2+\left(a+b\right)^2}\le\dfrac{1}{9}+\dfrac{1}{9}\left(\dfrac{c^2}{a^2+b^2+c^2}-\dfrac{ab}{2c^2+ab}\right)\end{matrix}\right.\)
Cộng vế theo vế ta được
\(P\le\dfrac{4}{9}-\dfrac{1}{9}\left(\dfrac{bc}{2a^2+bc}+\dfrac{ca}{2b^2+ca}+\dfrac{ab}{2c^2+ab}\right)\)
\(\le\dfrac{4}{9}-\dfrac{1}{9}.\dfrac{\left(ab+bc+ca\right)^2}{bc\left(2a^2+bc\right)+ca\left(2b^2+ca\right)+ab\left(2c^2+ab\right)}=\dfrac{4}{9}-\dfrac{1}{9}=\dfrac{1}{3}\left(2\right)\)
Từ (1) và (2) ta có
\(\sqrt{\dfrac{a^3}{5a^2+\left(b+c\right)^2}}+\sqrt{\dfrac{b^3}{5b^2+\left(c+a\right)^2}}+\sqrt{\dfrac{c^3}{5c^2+\left(a+b\right)^2}}^2\le\sqrt{\dfrac{a+b+c}{3}}\)
b: \(=\left(\sqrt{ab}+\dfrac{2\sqrt{ab}}{a}-\sqrt{\dfrac{a^2+1}{ab}}\right)\cdot\sqrt{ab}\)
\(=ab+\dfrac{2ab}{a}-\sqrt{a^2+1}=ab+2b-\sqrt{a^2+1}\)
c: \(=2\sqrt{6b}-6\sqrt{18}+10\sqrt{12}-\sqrt{48}\)
\(=2\sqrt{6b}-18\sqrt{2}+20\sqrt{3}-4\sqrt{3}\)
\(=2\sqrt{6n}-18\sqrt{2}+16\sqrt{3}\)
d: \(=\dfrac{\sqrt{3}\left(\sqrt{5}-\sqrt{2}\right)}{\sqrt{7}\left(\sqrt{5}-\sqrt{2}\right)}=\dfrac{\sqrt{21}}{7}\)
Câu 2:
a: \(=2\left(\sqrt{4+\sqrt{5}-1}\right)\left(\sqrt{10}-\sqrt{2}\right)\)
\(=\sqrt{2}\cdot\sqrt{6+2\sqrt{5}}\cdot\left(\sqrt{10}-\sqrt{2}\right)\)
\(=2\cdot\left(\sqrt{5}+1\right)\left(\sqrt{5}-1\right)=8\)
b: \(=\dfrac{a-2\sqrt{a}+1+a+2\sqrt{a}+1}{a-1}\cdot\left(\dfrac{a+1-2}{a+1}\right)^2\)
\(=\dfrac{2\left(a+1\right)}{a-1}\cdot\dfrac{\left(a-1\right)^2}{\left(a+1\right)^2}=\dfrac{2\left(a-1\right)}{a+1}\)
Bài 1:
a: \(=\dfrac{1}{mn^2}\cdot\dfrac{n^2\cdot\left(-m\right)}{\sqrt{5}}=\dfrac{-\sqrt{5}}{5}\)
b: \(=\dfrac{m^2}{\left|2m-3\right|}=\dfrac{m^2}{3-2m}\)
c: \(=\left(\sqrt{a}+1\right):\dfrac{\left(a-1\right)^2}{\left(1-\sqrt{a}\right)}=\dfrac{-\left(a-1\right)}{\left(a-1\right)^2}=\dfrac{-1}{a-1}\)
Bài 1:
a: ĐKXĐ: 2x+3>=0 và x-3>0
=>x>3
b: ĐKXĐ:(2x+3)/(x-3)>=0
=>x>3 hoặc x<-3/2
c: ĐKXĐ: x+2<0
hay x<-2
d: ĐKXĐ: -x>=0 và x+3<>0
=>x<=0 và x<>-3
Không ai thảo luận câu này sao. T khởi động trước nhá.
Ta có: \(\cos\left(\dfrac{A-B}{2}\right)=\dfrac{\cos\left(\dfrac{A-B}{2}\right).\cos\left(\dfrac{A+B}{2}\right)}{\sin\dfrac{C}{2}}\)
\(=\dfrac{\cos A+\cos B}{2\sqrt{\dfrac{1-\cos C}{2}}}=\dfrac{\dfrac{b^2+c^2-a^2}{2bc}+\dfrac{a^2+c^2-b^2}{2ca}}{2\sqrt{\dfrac{1-\dfrac{a^2+b^2-c^2}{2ab}}{2}}}\)
\(=\dfrac{\dfrac{\left(a+b\right)\left(c^2-\left(a-b\right)^2\right)}{abc}}{2\sqrt{\dfrac{c^2-\left(a-b\right)^2}{ab}}}=\dfrac{\left(a+b\right)\sqrt{c^2-\left(a-b\right)^2}}{2c\sqrt{ab}}\)
Ta sẽ chứng minh: \(\dfrac{\left(a+b\right)\sqrt{c^2-\left(a-b\right)^2}}{2c\sqrt{ab}}\le\dfrac{a+b}{\sqrt{2\left(a^2+b^2\right)}}\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{2abc^2}{c^2-\left(a-b\right)^2}\ge a^2+b^2\)
\(\Leftrightarrow2abc^2-\left(a^2+b^2\right)\left(c^2-\left(a-b\right)^2\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\left(a^2+b^2-c^2\right)\ge0\) (đúng vì tam giác ABC nhọn)
\(\Rightarrow\cos\left(\dfrac{A-B}{2}\right)\le\dfrac{a+b}{\sqrt{2\left(a^2+b^2\right)}}\left(1\right)\)
Tương tự ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}\cos\left(\dfrac{B-C}{2}\right)\le\dfrac{b+c}{\sqrt{2\left(b^2+c^2\right)}}\left(2\right)\\\cos\left(\dfrac{C-A}{2}\right)\le\dfrac{c+a}{\sqrt{2\left(c^2+a^2\right)}}\left(3\right)\end{matrix}\right.\)
Cộng (1), (2), (3) vế theo vế ta được ĐPCM.
Thảo luận mình là người thứ 2
Chẳng thấy đề có kết nối giữa hai đại lượng [(ABC);(a,b,c)]
gì cả --> thiếu mối liên lạc cần thiết -->đề chưa thực sự rõ rằng --->Đề có suy biến --->lời giải (nếu có) phải là lời giải biện luận theo đề--->chưa thể chấp nhận lời giải trên