Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(\overrightarrow{AD}=2\overrightarrow{DB}\Rightarrow\overrightarrow{AD}=\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AB}\) ; \(\overrightarrow{CE}=3\overrightarrow{EA}\Rightarrow\overrightarrow{AE}=\dfrac{1}{4}\overrightarrow{AC}\)
Lại có M là trung điểm DE
\(\Rightarrow\overrightarrow{AM}=\dfrac{1}{2}\left(\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AE}\right)=\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AB}+\dfrac{1}{4}\overrightarrow{AC}\right)=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AB}+\dfrac{1}{8}\overrightarrow{AC}\)
I là trung điểm BC \(\Rightarrow\overrightarrow{AI}=\dfrac{1}{2}\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right)\)
\(\Rightarrow\overrightarrow{MI}=\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{AI}=\overrightarrow{AI}-\overrightarrow{AM}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AC}-\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AB}-\dfrac{1}{8}\overrightarrow{AC}=\dfrac{1}{6}\overrightarrow{AB}+\dfrac{3}{8}\overrightarrow{AC}\)
Xét \(\Delta ABC\) có:
\(M\) là trung điểm \(AB\)
\(D\) là trung điểm \(BC\)
\(\Rightarrow\) \(MD\) là đường trung bình của \(\Delta ABC\)
\(\Rightarrow\) \(MD\)\(=\)\(\dfrac{1}{2}AC\) và \(MD\) //\(AC\)
Ta có:
\(\overrightarrow{KD}=\overrightarrow{KM}+\overrightarrow{MD}\)
\(\Rightarrow\overrightarrow{KD}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{NM}+\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AC}\)
\(\Rightarrow\overrightarrow{KD}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{NA}+\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AM}+\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AC}=\dfrac{1}{6}\overrightarrow{CA}+\dfrac{1}{4}\overrightarrow{AB}+\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AC}\\ \Rightarrow\overrightarrow{KD}=\dfrac{1}{4}\overrightarrow{AB}+\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AC}\)
Lời giải:
Với $I$ là trung điểm của $BC$ thì \(\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{IC}=\overrightarrow{0}\)
Ta có:
\(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AI}+\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{AI}+\overrightarrow{IC}\)
\(=2\overrightarrow{AI}+(\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{IC})\)
\(=2\overrightarrow{AI}\)
\(\Rightarrow \overrightarrow{AI}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}\) (đpcm)
b) Gọi giao điểm của $AG$ với $BC$ là $T$
\(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AG}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{AG}+\overrightarrow{GC}\)
\(=2\overrightarrow{AG}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=2\overrightarrow{AG}+\overrightarrow{GI}+\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{GI}+\overrightarrow{IC}\)
\(=2\overrightarrow{AG}+2\overrightarrow{GI}\)
Theo tính chất đường trung tuyến thì \(\overrightarrow{AG}=2\overrightarrow{GI}\) nên:
\(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{AG}+\overrightarrow{AG}=3\overrightarrow{AG}\)
\(\Rightarrow \overrightarrow{AG}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}\)
Thay vì \(\alpha;\beta;\gamma\) khó gõ kí tự, mình chuyển thành \(a,b,c\) cho dễ, bạn tự thay lại.
Do ABCD là hbh \(\Rightarrow\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}\)
- Chứng minh chiều thuận: I, F, K thẳng hàng \(\Rightarrow\dfrac{1}{b}=\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{c}\)
Do I, F, K thẳng hàng \(\Rightarrow\) tồn tại một số \(k\ne0\) để \(\overrightarrow{KF}=k.\overrightarrow{KI}\)
\(\Rightarrow\left(\overrightarrow{KA}+\overrightarrow{AF}\right)=k.\left(\overrightarrow{KA}+\overrightarrow{AI}\right)\Rightarrow\left(-c.\overrightarrow{AD}+b.\overrightarrow{AC}\right)=k\left(-c.\overrightarrow{AD}+a.\overrightarrow{AB}\right)\)
\(\Rightarrow\overrightarrow{AD}\left(ck-c\right)=k.a.\overrightarrow{AB}-b.\overrightarrow{AC}=ka.\overrightarrow{AB}-b.\overrightarrow{AB}-b.\overrightarrow{AD}\)
\(\Rightarrow\overrightarrow{AD}\left(ck-c+b\right)=\overrightarrow{AB}\left(ka-b\right)\) (1)
Do \(\overrightarrow{AD};\overrightarrow{AB}\) không cùng phương \(\Rightarrow\left(1\right)\) xảy ra khi và chỉ khi:
\(\left\{{}\begin{matrix}ck-c+b=0\\ka-b=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}k=\dfrac{c-b}{c}\\k=\dfrac{b}{a}\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\dfrac{c-b}{c}=\dfrac{b}{a}\Rightarrow1=\dfrac{b}{a}+\dfrac{b}{c}\Rightarrow\dfrac{1}{b}=\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{c}\) (đpcm)
- Chứng minh chiều nghịch: \(\dfrac{1}{b}=\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{c}\Rightarrow\) I, F, K thẳng hàng
\(\dfrac{1}{b}=\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{c}\Rightarrow b=\dfrac{ac}{a+c}\)
\(\overrightarrow{FI}=\overrightarrow{FA}+\overrightarrow{AI}=-b.\overrightarrow{AC}+a.\overrightarrow{AB}=-b\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}\right)+a.\overrightarrow{AB}\)
\(\Rightarrow\overrightarrow{FI}=-\dfrac{ac}{a+c}\overrightarrow{AB}-\dfrac{ac}{a+c}\overrightarrow{AD}+a.\overrightarrow{AB}=\dfrac{a^2}{a+c}\overrightarrow{AB}-\dfrac{ac}{a+c}\overrightarrow{AD}\)
\(\Rightarrow\overrightarrow{FI}=\dfrac{a}{a+c}\left(a.\overrightarrow{AB}-c.\overrightarrow{AD}\right)\) (1)
Lại có \(\overrightarrow{KI}=\overrightarrow{KA}+\overrightarrow{AI}=-c.\overrightarrow{AD}+a.\overrightarrow{AB}=a.\overrightarrow{AB}-c.\overrightarrow{AD}\) (2)
Từ (1), (2) \(\Rightarrow\overrightarrow{FI}=\dfrac{a}{a+c}\overrightarrow{KI}\) ; mà \(\dfrac{a}{a+c}\) là hằng số \(\ne0\)
\(\Rightarrow F,I,K\) thẳng hàng (đpcm)
Vậy F, I, K thẳng hàng khi và chỉ khi \(\dfrac{1}{b}=\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{c}\)
A B C K I
a)
\(\overrightarrow{AK}=\overrightarrow{AI}+\overrightarrow{IK}=\overrightarrow{AI}+\dfrac{1}{2}\overrightarrow{IB}=\overrightarrow{AI}+\dfrac{1}{2}\left(\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{AB}\right)\)
\(=\overrightarrow{AI}+\dfrac{1}{2}\overrightarrow{IA}+\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB}\)\(=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AI}\).
b) Theo câu a:
\(\overrightarrow{AK}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AI}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\dfrac{1}{2}.\dfrac{1}{2}\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right)\)
\(=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\dfrac{1}{4}\overrightarrow{AB}+\dfrac{1}{4}\overrightarrow{AC}=\dfrac{3}{4}\overrightarrow{AB}+\dfrac{1}{4}\overrightarrow{AC}\).