Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
cho tam giác ABC và 3 điểm A',B',C' lần lượt nằm trên 3 cạnh BC,AC,AB ( A',B',C' không trùng với các đỉnh của tam giác )
Khi đó ta có : AA',BB',CC' đồng quy \(\Leftrightarrow\frac{A'B}{A'C}.\frac{B'C}{B'A}.\frac{C'A}{C'B}=1\)
A B C A' B' C'
A B C H E M D P
Gọi P là giao điểm của AD và BE
Áp dụng định lí Ceva vào \(\Delta ABE\),ta có :
\(\frac{BP}{PE}.\frac{HE}{AH}.\frac{AM}{BM}=1\Rightarrow\frac{AH}{HE}=\frac{BP}{PE}\Rightarrow PH//AB\)
\(\Rightarrow\widehat{BAD}=\widehat{DPH}\)
Mà \(\widehat{BAD}=\widehat{DAH}\)
\(\Rightarrow\widehat{DAH}=\widehat{PDH}\Rightarrow\Delta AHP\)cân tại H
\(\Rightarrow HP=AH\)
Cần chứng minh \(DP//CE\Leftrightarrow\frac{BD}{BC}=\frac{BP}{BE}\Leftrightarrow\frac{BD}{BC}=1-\frac{EP}{BE}\)
Ta có : \(\frac{EP}{BE}=\frac{HP}{AB}=\frac{AH}{AB}=\frac{HD}{BD}\)
Khi đó : \(\frac{BD}{BC}=1-\frac{HD}{BD}\Leftrightarrow\frac{BD}{BC}+\frac{HD}{BD}=1\Leftrightarrow BD^2+HD.BC=BC.BD=\left(BD+DC\right).BD\)
\(\Rightarrow HD.BC=CD.BD\Rightarrow\frac{HD}{BD}=\frac{CD}{BC}\Leftrightarrow\frac{AH}{AB}=\frac{CD}{BC}\)
Ta có : \(\widehat{CDA}=\widehat{DBA}+\widehat{BAD}=\widehat{CAH}+\widehat{DAH}=\widehat{CAD}\)
\(\Rightarrow\Delta CAD\)cân tại C \(\Rightarrow CD=CA\)
Từ đó suy ra : \(\frac{AH}{AB}=\frac{AC}{BC}\) ( đúng vì \(\Delta AHB~\Delta CAB\left(g.g\right)\))
Vậy ta có đpcm
ý 1 câu a )
có ED vuông góc BC ; AH vuông góc BC => ED//AH => tam giác CDE đồng dạng vs tam giác CHA ( talet) (1)
xét tam giác CHA và tam giác CAB có CHA=CAB=90 độ ; C chung => tam giác CHA đồng dạng vs tam giác CAB ( gg) (2)
từ (1) và (2) =>tam giác CDE đồng dạng tam giác CAB ( cùng đồng dạng tam giác CHA )
có tam giác CDE đồng dạng tam giác CAB (cmt) => \(\frac{CE}{CB}=\frac{CD}{CA}\)
xét tam giác BAC và tam giác ADC có góc C chung và \(\frac{CE}{BC}=\frac{CD}{AC}\left(CMT\right)\) => tam giác BAC đồng dạng vs tam giác ADC ( trường hợp c-g-c) , mấy câu kia quên mịa nó r -.-
A B O C D M N H K E
a) Xét \(\Delta\)NKD và \(\Delta\)MKC: ^NKD = ^MKC (Đối đỉnh); ^DNK = ^CMK (Cùng chắn cung CD)
=> \(\Delta\)NKD ~ \(\Delta\)MKC (g.g) (đpcm).
b) Ta thấy: N là điểm chính giữa của cung AD => \(\Delta\)AND cân tại N => ^NAD = ^NDA
Tứ giác CAND nội tiếp đường tròn (O) => ^NAD = ^NCD; ^NDA = ^NCA.
Mà ^NAD=^NDA (cmt) => ^NCD = ^NCA => CN là phân giác ^ACD.
Tương tự ta chứng minh được: DM là phân giác ^ADC
Do DM giao CN tại K nên K là tâm đường tròn nội tiếp \(\Delta\)CAD => AK là phân giác ^CAD
Hay AE là phân giác ^CAD => ^CAE = ^DAE.
Xét tứ giác ACED nội tiếp (O) => ^CAE = ^CDE; ^DAE = ^DCE
=> ^CDE = ^DCE => \(\Delta\)DEC cân tại E => EC=ED. Mà CD là dây cung của (O)
=> OE vuông góc CD (đpcm).
c) Ta thấy ^CKM là góc ngoài của \(\Delta\)CKD => ^CKM = ^KCD + ^KDC = 1/2 (^ACD + ^ADC) (1)
Ta có: ^MCK = ^ACM + ^ACK. Mà ^ACM = ^ADM (Cùng chắn cung AM) => ^MCK = ^ADM + ^ACK
=> ^MCK = 1/2(^ADC + ^ACD) (2)
Từ (1) và (2) => ^CKM = ^MCK => \(\Delta\)CMK cân tại M => MC=MK=MA
=> M nằm trên trung trực của AK
Lập luận tương tự: NA=NK => N nằm trên trung trực của AK
=> MN là đường trung trực của AK . Lại có H thuộc MN
=> ^NKH = ^NAH. Mà ^NAH = ^NMC (=^NAC) nên ^NKH = ^NMC.
Xét \(\Delta\)NHK và \(\Delta\)NCM: ^NKH = ^NMC; ^MNC chung => \(\Delta\)NHK ~ \(\Delta\)NCM (g.g)
\(\Delta\)AHK cân tại H => ^HAK = ^HKA. Do AK là phân giác ^CAD => ^HAK = ^KAD
=> ^HKA = ^KAD. Vì 2 góc này so le trg nên HK // AD (đpcm).
d) Nhận xét: \(\Delta\)AMK có AM=KM (cmt)
=> \(\Delta\)AMK là tam giác đều khi ^AMK=600 hay ^AMD=600
Mà ^AMD = ^ACD (Cùng chắn cung AD) => Để \(\Delta\)AMK đều khi ^ACD=600
Vậy 2 điểm C và D di động trên đường tròn (O) sao cho ^ACD=600 thì \(\Delta\)AMK là tam giác đều.
Câu hỏi của Phạm An Nguyên - Toán lớp 8 - Học toán với OnlineMath
Câu hỏi của Phạm An Nguyên - Toán lớp 8 - Học toán với OnlineMath