Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Kẻ AG cắt BC tại P; kẻ AQ vuông góc với MN.
Áp dụng hệ thức lượng vào tam giác AMN ta có :
\(\frac{1}{AM^2}+\frac{1}{AN^2}=\frac{1}{AQ^2}\)
Lại có \(AQ\le AG\) ( vì AG là đường cao trong tam giác AQG )
Do đó \(\frac{1}{AM^2}+\frac{1}{AN^2}\ge\frac{1}{AG^2}\)
Vì G là trọng tâm của tam giác ABC nên
\(AG=\frac{2}{3}AP=\frac{2\cdot AP}{3}=\frac{2\cdot BP}{3}=\frac{BC}{3}\) ( đường trung tuyến ứng với cạnh huyền )
\(\Rightarrow\frac{1}{AM^2}+\frac{1}{AN^2}\ge\frac{1}{\left(\frac{BC}{3}\right)^2}=\frac{1}{\frac{BC^2}{9}}=\frac{9}{BC^2}\) ( đpcm )
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow MN\perp AP\)
A B C G M N E F d I
Qua 2 điểm B và C kẻ đường thẳng song song với đường thẳng d cắt tia AG lần lượt tại E và F
Gọi AI là trung tuyến của \(\Delta\)ABC
Theo ĐL Thales ta có các tỉ số: \(\frac{AB}{AM}=\frac{AE}{AG};\frac{AC}{AN}=\frac{AF}{AG}\)
\(\Rightarrow\frac{AB}{AM}+\frac{AC}{AN}=\frac{AE+AF}{AG}=\frac{2AE+IE+IF}{AG}\)
Dễ thấy \(\Delta\)BEI=\(\Delta\)CFI (g.c.g) => IE = IF (2 cạnh tương ứng) => IE + IF = 2.IE
\(\Rightarrow\frac{AB}{AM}+\frac{AC}{AN}=\frac{2AE+2IE}{AG}=\frac{2AI}{AG}=\frac{3AG}{AG}=3\)
\(\Leftrightarrow\left(\frac{AB}{AM}+\frac{AC}{AN}\right)^2=9\ge4.\frac{AB.AC}{AM.AN}\)(BĐT Cauchy)
\(\Leftrightarrow\frac{AB.AC}{AM.AN}\le\frac{9}{4}\Leftrightarrow AM.AN\ge\frac{4.AB.AC}{9}\)
\(\Rightarrow S_{AMN}\ge\frac{4}{9}.S_{ABC}\Leftrightarrow\frac{S_{ABC}}{S_{AMN}}\le\frac{9}{4}\)(đpcm).
Đẳng thức xảy ra <=> \(\frac{AB}{AM}=\frac{AC}{AN}\)<=> MN // BC <=> d // BC.