Question

[Thầy Tùng Dương]

Cho tam giác ABC vuông tại A, lấy  điểm D thuộc cạnh huyền BC (D không trùng B và C) . Gọi M, N lần lượt đối xứng với D qua AB, AC. Gọi I là giao điểm của MD với AB, K  là giao điểm của ND với AC.

a) Chứng minh tứ giác AIDK là hình chữ nhật.

b) Chứng minh M đối xứng với N qua A.

c) Tìm vị trí của D trên cạnh BC sao cho CM đi qua trung điểm của IK.

Answer 1

[Hoàng Cẩm Phương]

Answer 2

[Hưng]

a) Tứ giác AIDK là hình chữ nhật

b) M đối xứng với N qua A

c) Để CM đi qua trung điểm của IK thì D là trung điểm cạnh BC

Giải thích các bước giải:

a)

M đối xứng với D qua AB (gt)

I là giao điểm của MD với AB (gt)

→MI=ID,MD⊥AB→MI=ID,MD⊥AB tại I

Tương tự: NK=KD,ND⊥ACNK=KD,ND⊥AC tại K

Xet tứ giác AIDK:

ˆIAK=90o(AB⊥AC)ˆAID=90o(DI⊥AB)ˆAKD=90o(DK⊥AC)IAK^=90o(AB⊥AC)AID^=90o(DI⊥AB)AKD^=90o(DK⊥AC)

→→ Tứ giác AIDK là hình chữ nhật (tứ giác có 3 góc vuông)

→→ 2 đường chéo AD và IK cắt nhau tại trung điểm mỗi đường là điểm O

→ID//AK,ID=AK;IA//DK,IA=DK→ID//AK,ID=AK;IA//DK,IA=DK

b)

Xét tứ giác MIKA:

MI//AK(ID//AK)MI=AK(=ID)MI//AK(ID//AK)MI=AK(=ID)

→→ Tứ giác MIKA là hình bình hành (2 cạnh đối song song và bằng nhau)

→MA//IK,MA=IK→MA//IK,MA=IK

Xét tứ giác AIKN:

IA//KN(IA//DK)IA=KN(=DK)IA//KN(IA//DK)IA=KN(=DK)

→→ Tứ giác AIKN là hình bình hành (2 cạnh đối song song và bằng nhau)

→AN//IK,AN=IK→AN//IK,AN=IK

→→ M, A, N thẳng hàng

→MA=AN→MA=AN

→→ M đối xứng với N qua A

c)

Để CM đi qua trung điểm của IK

Hay CM đi qua điểm O

→→ CM cắt AD tại trung điểm O của mỗi đường

→→ Tứ giác CAMD là hình bình hành (2 đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường)

→MD=AC→2ID=AC→ID=12AC→MD=AC→2ID=AC→ID=12AC

Mà ID//AC(ID//AK)ID//AC(ID//AK)

→→ ID là đường trung bình của △ABC△ABC

→→ D là trung điểm của BC

Vậy để CM đi qua trung điểm của IK thì D là trung điểm cạnh BC