Question

[Loan Nguyễn]

Cho tam giác ABC, trung tuyến AM.
a) C/m: \(AB^2+AC^2=2AM^2+\frac{BC^2}{2}\)

b) Từ câu a) Hãy phát biểu tổng quát 

Answer 1

[Hoàng Lê Bảo Ngọc]

A B C M H

a) Ta có : \(AB^2=AH^2+BH^2=\left(AM^2-HM^2\right)+BH^2=AM^2+\left(BH-HM\right)\left(BH+HM\right)=AM^2+\frac{BC}{2}\left(BH-HM\right)\)\(AC^2=AH^2+HC^2=\left(AM^2-HM^2\right)+HC^2=AM^2+\left(HC-HM\right)\left(HC+HM\right)=AM^2+\frac{BC}{2}\left(HC+HM\right)\)

\(\Rightarrow AB^2+AC^2=2AM^2+\frac{BC}{2}\left(BH-HM+HC+HM\right)=2AM^2+\frac{BC}{2}.BC=2AM^2+\frac{BC^2}{2}\)

b) Phát biểu : Trong một tam giác, tổng bình phương hai cạnh bất kì thì bằng hai lần bình phương của đường trung tuyến chung đỉnh với hai cạnh ấy cộng với một nửa bình phương cạnh còn lại.