Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Dễ chứng minh từ các hình bình hành to nhỏ khác nhau. Từ đó CM O là trung điểm AA(1).
Vậy \(A,O,A_1\)thẳng hàng
Bổ đề: Nếu tam giác ABC có tâm đường tròn ngoại tiếp O và trực tâm H thì \(\vec{OH}=\vec{OA}+\vec{OB}+\vec{OC}\).
Chứng minh: Xét hiệu \(\vec{s}=\vec{OA}+\vec{OB}+\vec{OC}-\vec{OH}=\left(\vec{OA}+\vec{OB}\right)+\vec{HA}\), có phương vuông góc với BC, tương tư vector s có phương vuông góc với CA. vậy vector s vuông góc với hai phương khác nhau nên là vector không.
Bằng cách tính góc, ta có \(IA_1\perp B_1C_1,IB_1\perp A_1C_1\to\) I chính là trực tâm tam giác A1B1C1. Từ đó áp dụng bổ đề 1, cho ta ngay a)
b) Ta có \(\vec{OA_1}=\frac{R}{r}\vec{IA_2},\vec{OB_1}=\frac{R}{r}\vec{IB_2},\vec{OC_1}=\frac{R}{r}\vec{IC_2}\to\vec{OA_1}+\vec{OB_1}+\vec{OC_1}\)
\(=\frac{R}{r}\left(\vec{IA_2}+\vec{IB_2}+\vec{IC_2}\right)=3\frac{R}{r}\vec{IG'}\) trong đó G' là trọng tâm tam giác A2B2C2. Theo câu a, ta suy ra véc tơ OI bằng 3R/r lần véc tơ IG', do đó điểm O nằm trên đường thẳng IG'. Vì I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác A2B2C2 và G' là trọng tâm nên IG' chính là đường thẳng Ơ-le của tam giác A2B2C2. Suy ra OI chính là đường thẳng Ơ le của tam giác A2B2C2
A B C C1 B1 A1 O
Gọi O là giao điểm của AA1 và CC1. Ta chứng minh \(\widehat{AOB}+\widehat{AOB_1}=180^o\).
Ta có: \(\Delta C_1BC=\Delta ABA_1\) vì \(C_1B=AB\), BC=BA1, góc C1BC = góc ABA1 (=góc ABC+60độ).
Suy ra \(\widehat{BC_1C}=\widehat{BAA_1}\) suy tiếp \(C_1BOA\) là tứ giác nội tiếp đường tròn.
\(\Rightarrow\widehat{AC_1B}+\widehat{AOB}=180^o\) \(\Rightarrow\widehat{AOB}=120^o\) và \(\widehat{C_1OB}=\widehat{C_1OA}=60^o\) (cùng chắn hai cung có độ dài bằng nhau).
Tương tự ta có các góc AOB1, B1OC, COA1, A1OB đều bằng 60 độ.
Suy ra \(\widehat{AOB}+\widehat{AOB_1}=180^o\)
Vậy BOB1 thẳng hàng