Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Bài 2:
Gọi M là trung điểm của AB,N là trung điểm của CD
vecto GA+vecto GB+vecto GC+vecto GD=vecto 0
=>2 vetco GM+2 vecto GN=vecto 0
=>vecto GM+vecto GN=vecto 0
=>G là trung điểm của MN
Lời giải:
Với $I$ là trung điểm của $BC$ thì \(\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{IC}=\overrightarrow{0}\)
Ta có:
\(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AI}+\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{AI}+\overrightarrow{IC}\)
\(=2\overrightarrow{AI}+(\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{IC})\)
\(=2\overrightarrow{AI}\)
\(\Rightarrow \overrightarrow{AI}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}\) (đpcm)
b) Gọi giao điểm của $AG$ với $BC$ là $T$
\(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AG}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{AG}+\overrightarrow{GC}\)
\(=2\overrightarrow{AG}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=2\overrightarrow{AG}+\overrightarrow{GI}+\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{GI}+\overrightarrow{IC}\)
\(=2\overrightarrow{AG}+2\overrightarrow{GI}\)
Theo tính chất đường trung tuyến thì \(\overrightarrow{AG}=2\overrightarrow{GI}\) nên:
\(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{AG}+\overrightarrow{AG}=3\overrightarrow{AG}\)
\(\Rightarrow \overrightarrow{AG}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}\)
\(\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0}\Rightarrow\left(\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}\right)^2=0\)
\(\Rightarrow-2\left(\overrightarrow{GA}.\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GB}.\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{GC}.\overrightarrow{GA}\right)=GA^2+GB^2+GC^2\)
\(\Rightarrow\overrightarrow{GA}.\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GB}.\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{GC}.\overrightarrow{GA}=-\frac{1}{2}\left(\frac{2}{3}m_a^2+\frac{2}{3}m_b^2+\frac{2}{3}m_c^2\right)\)
\(=-\frac{1}{6}\left(AB^2+BC^2+CA^2\right)\)
Hình như đề bài sai dấu?
Lời giải:
$G$ là trọng tâm tam giác $ABC$ thì ta có 1 bổ đề quen thuộc là:
$\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0}$
$\Leftrightarrow \overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0}$
$\Rightarrow \overrightarrow{GC}=-(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})$
Ta có:
\(\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{BC}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AG}+\overrightarrow{GB})-(\overrightarrow{BG}+\overrightarrow{GC})\)
\(=\frac{1}{2}(-\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})-[-\overrightarrow{b}-(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})]\)
\(=\frac{\overrightarrow{a}}{2}+\frac{5\overrightarrow{b}}{2}\)
b: \(\left|\overrightarrow{GB}\right|=GB=GA=\dfrac{2}{3}\cdot\dfrac{a\sqrt{3}}{2}=\dfrac{a\sqrt{3}}{3}\)
c: \(\left|\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}\right|\)
\(=\sqrt{GA^2+GB^2+2\cdot GA\cdot GB\cdot cos\left(GA,GB\right)}\)
\(=\sqrt{2\cdot\left(\dfrac{a\sqrt{3}}{3}\right)^2+2\cdot\dfrac{a\sqrt{3}}{3}\cdot\dfrac{a\sqrt{3}}{3}\cdot\dfrac{-1}{2}}\)
\(=\sqrt{2\cdot\dfrac{1}{3}\cdot a^2-\dfrac{a^2}{3}}=\sqrt{\dfrac{a^2}{3}}\)