Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
a) \(1+tan^2B=1+\dfrac{AC^2}{AB^2}=\dfrac{AB^2+AC^2}{AB^2}=\dfrac{BC^2}{AB^2}=\dfrac{1}{\left(\dfrac{AB}{BC}\right)^2}=\dfrac{1}{cos^2B}\)
b) Ta có: \(a.sinB.cosB=BC.\dfrac{AC}{BC}.\dfrac{AB}{BC}=\dfrac{AC.AB}{BC}=\dfrac{AH.BC}{BC}=AH\)
\(AB^2=BH.BC\Rightarrow BH=\dfrac{AB^2}{BC}=BC.\left(\dfrac{AB}{BC}\right)^2=BC.cos^2B\)
Tương tự \(\Rightarrow CH=BC.sin^2B\)
Hình tự vẽ nha
Kẻ phân giác \(AD,BK\perp AD\)
\(\sin\dfrac{A}{2}=\sin BAD\)
xét \(\Delta AKB\) vuông tại K,có:
\(\sin BAD=\dfrac{BK}{AB}\left(1\right)\)
Xét \(\Delta BKD\) vuông tại K,có :
\(BK\le BD\) thay vào (1):
\(\sin BAD\le\dfrac{BD}{AB}\left(2\right)\)
lại có:\(\dfrac{BD}{CD}=\dfrac{AB}{AC}\)
\(\Rightarrow\dfrac{BD}{BD+CD}=\dfrac{AB}{AB+AC}\)
\(\Rightarrow\dfrac{BD}{BC}=\dfrac{AB}{AB+AC}\)
\(\Rightarrow BD=\dfrac{AB\cdot AC}{AB+AC}\) thay vào (2)
\(\sin BAD\le\dfrac{\dfrac{AB\cdot AC}{AB+AC}}{AB}=\dfrac{BC}{AB+AC}\)
\(\RightarrowĐPCM\)
Tick plz
Lời giải:
\(\frac{ab}{b+c}+\frac{bc}{c+a}+\frac{ca}{a+b}=\frac{ca}{b+c}+\frac{ab}{c+a}+\frac{bc}{a+b}\)
\(\Leftrightarrow \frac{a(b-c)}{b+c}+\frac{b(c-a)}{c+a}+\frac{c(a-b)}{a+b}=0\)
\(\Leftrightarrow \frac{a(b-c)}{b+c}-\frac{b(b-c+a-b)}{c+a}+\frac{c(a-b)}{a+b}=0\)
\(\Leftrightarrow \frac{a(b-c)}{b+c}-\frac{b(b-c)}{c+a}-\frac{b(a-b)}{c+a}+\frac{c(a-b)}{a+b}=0\)
\(\Leftrightarrow (b-c)\left(\frac{a}{b+c}-\frac{b}{c+a}\right)-(a-b)\left(\frac{b}{c+a}-\frac{c}{a+b}\right)=0\)
\(\Leftrightarrow (b-c).\frac{(a-b)(a+b+c)}{(b+c)(c+a)}-(a-b).\frac{(b-c)(b+c+a)}{(c+a)(a+b)}=0\)
\(\Leftrightarrow (a+b+c)(a-b)(b-c)\left(\frac{1}{(b+c)(c+a)}-\frac{1}{(c+a)(a+b)}\right)=0\)
\(\Leftrightarrow (a+b+c)(a-b)(b-c).\frac{a-c}{(a+b)(b+c)(c+a)}=0\)
Vì $a,b,c$ là 3 cạnh tam giác nên \(\frac{a+b+c}{(a+b)(b+c)(c+a)}\neq 0\)
Do đó: \((a-b)(b-c)(a-c)=0\Rightarrow \left[\begin{matrix} a=b\\ b=c\\ c=a\end{matrix}\right.\)
Suy ra tam giác $ABC$ cân
Ta có đpcm.
a.
Áp dụng hệ thức lượt trong tam giác vuông ta có:
$\frac{1}{AH^2}=\frac{1}{AB^2}+\frac{1}{AC^2}$
$\Leftrightarrow \frac{1}{AC^2}=\frac{1}{AH^2}-\frac{1}{AB^2}=\frac{1}{3a^2}$
$\Rightarrow AC=\sqrt{3}a$
$BC=\sqrt{AB^2+AC^2}=\sqrt{a^2+3a^2}=2a$
b.
$HB=\frac{BC}{4}$ thì $HC=\frac{3}{4}BC$
$\Rightarrow \frac{HB}{HC}=\frac{1}{3}$
Áp dụng hệ thức lượt trong tam giác vuông:
$AB^2=BH.BC; AC^2=CH.BC$
$\Rightarrow \frac{AB}{AC}=\sqrt{\frac{BH}{CH}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$
Áp dụng định lý Pitago:
$4a^2=BC^2=AB^2+AC^2=(\frac{\sqrt{3}}{3}.AC)^2+AC^2$
$\Rightarrow AC=\sqrt{3}a$
$\Rightarrow AB=a$
c.
Áp dụng hệ thức lượt trong tam giác vuông:
$AB^2=BH.BC$
$\Leftrightarrow AB^2=BH(BH+CH)$
$\Leftrightarrow a^2=BH(BH+\frac{3}{2}a)$
$\Leftrightarrow BH^2+\frac{3}{2}aBH-a^2=0$
$\Leftrightarrow (BH-\frac{a}{2})(BH+2a)=0$
$\Rightarrow BH=\frac{a}{2}$
$BC=BH+CH=2a$
$AC=\sqrt{BC^2-AB^2}=\sqrt{3}a$
d. Tương tự phần a.
