Question

[Nguyễn Ngọc Thanh Trúc]

Cho tam giác ABC có ba góc nhọn , nội tiếp. Đường tròn tâm O (AB<AC) các đường cao AD và CF của tam giác ABC cắt nhau tại H

a, Chứng minh tứ giác BFHD nội tiếp suy ra góc AHC =180 - góc ABC

b, gọi M lad điểm bất kì trên cung nhỏ BC của đường tròn O ( M khác B, C ) và N lad điểm đối xứng của M qua AC. Chứng minh tứ giác AHCN nội tiếp

c, gọi I là giao điểm của AM và HC , gọi J là giao điểm của AC và HN. Chứng minh góc AJI = góc ANC

d, chứng minh OA vuông góc với IJ

Answer 1

[Nguyễn Việt Hoàng]

Bạn tự vẽ hình nha

a) Xét tứ giác BFHD có :

\(\widehat{BDH}=\widehat{BFH}=90^o\) (gt )

nên \(\widehat{BDH}+\widehat{BFH}=90^o+90^o=180^o\)

\(\Rightarrow\) tứ giác BFHD nội tiếp

\(\Rightarrow\widehat{ABC}+\widehat{FHD}=180^o\left(1\right)\)

Mà \(\widehat{FHD}=\widehat{AHC}\) ( 2 góc đối đỉnh ) (2)

Từ (1) và (2) \(\Rightarrow\widehat{ABC}+\widehat{AHC}=180^o\)

\(\Rightarrow\widehat{AHC}=180^o-\widehat{ABC}\)

b) Ta có : N là điểm đối xứng của M qua AC

\(\Rightarrow\widehat{ANC}=\widehat{AMC}\)

Mà \(\widehat{AMC}=\widehat{ABC}\) ( cùng chắn \(\stackrel\frown{AC}\))

\(\Rightarrow\widehat{ANC}=\widehat{ABC}\left(3\right)\)

Từ câu a ta có :

\(\Rightarrow\widehat{AHC}=180^o-\widehat{ABC}\)

\(\Rightarrow\widehat{ABC}=180^o-\widehat{AHC}\left(4\right)\)

Từ (3) và (4) \(\Rightarrow\widehat{ANC}=180^o-\widehat{AHC}\)

\(\Rightarrow\widehat{ANC}+\widehat{AHC}=180^o\)

Vậy tứ giác AHCN nội tiếp