Question

[headsot96]

Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn , AB<AC , Ai là đường phân giác trong của tam giác ABC , I thuộc BC . Đường thẳng vuông góc với AI tại I cắt tia đối của tia BA tại M và cắt AC tại N . So sánh MN và BC

Answer 1

[Nguyễn Tất Đạt]

A B C I N M J P Q R K

Gọi AJ là đường trung tuyến của \(\Delta\)ABC. Đường thẳng qua N song song AB cắt BC tại P.

Đường thẳng qua C song song AB cắt đường thẳng qua M song song BC và AJ lần lượt tại Q,R.

Ta thấy \(\Delta\)MAN có đường cao AI đồng thời là đường phân giác nên \(\Delta\)MAN cân tại A

=> I cũng là trung điểm cạnh MN. Từ đó \(\Delta\)MBI = \(\Delta\)NPI (g.c.g) => NP = BM; ^INP = ^IMB

Mà NP // BM // CQ, BM = CQ nên NP // QC, NP = QC => Tứ giác NPQC là hình bình hành

Nếu ta gọi K là trung điểm PC thì N,K,Q thẳng hàng

Chú ý rằng \(\Delta\)NPC ~ \(\Delta\)ABC (g.g) với trung tuyến tương ứng NK,AJ => \(\Delta\)NPK ~ \(\Delta\)ABJ (c.g.c)

=> ^PNQ = ^PNK = ^BAJ. Kết hợp với ^INP = ^IMB (cmt) suy ra ^MNQ = ^INP + ^PNQ = ^BAJ + ^IMB (1)

Mặt khác: \(\Delta\)ABJ = \(\Delta\)RCJ (g.c.g) => AB = CR < AC => ^BAJ = ^CRJ > CAJ

Điều đó có nghĩa là ^BAJ > ^BAC/2 = ^BAI => ^BAJ + ^IMB > ^BAI + ^IMB = 90⁰  (2)

Từ (1) và (2) suy ra ^MNQ > 90⁰ => MQ là cạnh lớn nhất trong \(\Delta\)QMN => MN < MQ = BC

Vậy MN < BC.