Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Ta thấy: \(\Sigma_{cyc}\sqrt[3]{\frac{a^2+bc}{abc\left(b^2+c^2\right)}}=\Sigma_{cyc}\frac{a^2+bc}{\sqrt[3]{\left(a^2b+b^2c\right)\left(bc^2+ca^2\right)\left(c^2a+ab^2\right)}}\)
Ta lại có: \(\sqrt[3]{\left(a^2b+b^2c\right)\left(bc^2+ca^2\right)\left(c^2a+ab^2\right)}\le\frac{\left(a^2b+b^2c\right)+\left(bc^2+ca^2\right)+\left(c^2a+ab^2\right)}{3}=\frac{1}{3}\Sigma_{cyc}\left(ab\left(a+b\right)\right)\)
\(\Leftrightarrow\Sigma_{cyc}\sqrt[3]{\frac{a^2+bc}{abc\left(b^2+c^2\right)}}\ge\frac{\Sigma_{cyc}\left(a^2+bc\right)}{\frac{1}{3}\Sigma_{cyc}\left(ab\left(a+b\right)\right)}=\frac{a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca}{\frac{1}{3}\Sigma_{cyc}\left(ab\left(a+b\right)\right)}\)
Nhận thấy: \(A=\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca\right)=a^3+b^3+c^3+3abc+2\Sigma_{cyc}\left(ab\left(a+b\right)\right)\)
Theo Schur: \(a^3+b^3+c^3+3abc\ge\Sigma_{cyc}\left(ab\left(a+b\right)\right)\)
\(\Leftrightarrow A\ge3\Sigma_{cyc}\left(ab\left(a+b\right)\right)\)
\(\Rightarrow\Sigma_{cyc}\sqrt[3]{\frac{a^2+bc}{abc\left(b^2+c^2\right)}}\ge\frac{3\Sigma_{cyc}\left(ab\left(a+b\right)\right)}{\frac{1}{3}\left(a+b+c\right)\Sigma_{cyc}\left(ab\left(a+b\right)\right)}=\frac{9}{a+b+c}\)
Lời giải:
Thay dấu "=" thành $\geq $ ta được BĐT Holder. Dấu "=" xác định tại $\sin A=\sin B=\sin C$ hay tam giác $ABC$ đều.
Chứng minh cụ thể như sau:
\(\frac{1}{1+\frac{1}{\sin A}}+\frac{1}{1+\frac{1}{\sin B}}+\frac{1}{1+\frac{1}{\sin C}}\geq 3\sqrt[3]{\frac{1}{(1+\frac{1}{\sin A})(1+\frac{1}{\sin B})(1+\frac{1}{\sin C})}}\)
\(\frac{\frac{1}{\sin A}}{1+\frac{1}{\sin A}}+\frac{\frac{1}{\sin B}}{1+\frac{1}{\sin B}}+\frac{\frac{1}{\sin C}}{1+\frac{1}{\sin C}}\geq 3\sqrt[3]{\frac{\frac{1}{\sin A\sin B\sin C}}{(1+\frac{1}{\sin A})(1+\frac{1}{\sin B})(1+\frac{1}{\sin C})}}\)
Cộng theo vế và rút gọn:
\(\Rightarrow 3\geq 3\frac{1+\sqrt[3]{\frac{1}{\sin A\sin B\sin C}}}{\sqrt[3]{(1+\frac{1}{\sin A})(1+\frac{1}{\sin B})(1+\frac{1}{\sin C})}}\)
\(\Rightarrow (1+\frac{1}{\sin A})(1+\frac{1}{\sin B})(1+\frac{1}{\sin C})\geq (1+\sqrt[3]{\frac{1}{\sin A\sin B\sin C}})^3\)
Dấu "=" xảy ra (như đề bài) khi \(\sin A=\sin B=\sin C\Rightarrow \angle A=\angle B=\angle C=60^0\)
Mẫn Li
Câu 4 nếu bạn ko đánh sai thì người ghi đề sai :D, tử số phải là sinb chứ ko phải sina (đã chứng minh bên trên)
Câu 2b sửa lại thì cm dễ thôi:
\(\frac{cos\left(a+b\right).cos\left(a-b\right)}{sin^2a.sin^2b}=\frac{\frac{1}{2}cos2a+\frac{1}{2}cos2b}{sin^2a.sin^2b}=\frac{1-sin^2a-sin^2b}{sin^2a.sin^2b}=\frac{1}{sin^2a.sin^2b}-\frac{1}{sin^2a}-\frac{1}{sin^2b}\)
\(=\left(1+cot^2a\right)\left(1+cot^2b\right)-\left(1+cot^2a\right)-\left(1+cot^2b\right)\)
\(=1+cot^2a+cot^2b+cot^2a.cot^2b-2-cot^2a-cot^2b\)
\(=cot^2a.cot^2b-1\)
(từ đầu bằng thứ nhất ra thứ 2 sử dụng ct nhân đôi \(cos2x=1-2sin^2x\))
Rất xin lỗi bạn!
Câu 2b do mình đánh sai dấu phải là \(\frac{cos\left(a+b\right)\times cos\left(a-b\right)}{sin^2a\times sin^2b}=cot^2a\times cot^2b-1\)
Câu 3 mình cũng đánh sai luôn:
\(sin\frac{A}{2}=cos\frac{B}{2}\times cos\frac{C}{2}-sin\frac{C}{2}\times sin\frac{B}{2}\)
Còn câu 4 thì mình ko có đánh sai! Thành thật xin lỗi bạn! Mình sẽ khắc phục sự cố này!
\(VT=\frac{2S}{bc}=VP\)(Heron)