Question

[Cô Hoàng Huyền]

Cho tam giác $ABC$ cân tại $A$ và nội tiếp đường tròn tâm $O$, đường kính $AI$. Gọi $E$ là trung điểm của $AB$, $K$ là trung điểm của $OI$, $H$ là trung điểm của $EB$.
a/ Chứng minh  \(HK\perp EB\)
b/ Chứng minh tứ giác $AEKC$ nội tiếp được trong một đường tròn.

Answer 1

[Phan Thanh Thảo]

Cho tam giác ABCABC cân tại AA và nội tiếp đường tròn tâm OO, đường kính AIAI. Gọi EE là trung điểm của ABAB, KK là trung điểm của OIOI, HH là trung điểm của EBEB.
a/ Chứng minh  HK\perp EBHK⊥EB
b/ Chứng minh tứ giác AEKCAEKC nội tiếp được trong một đường tròn.

a) Ta thấy E, O là trung điểm của AB và AI nên EO là đường trung bình tam giác ABI

\Rightarrow⇒ EO song song với BI.

Ta lại có H, K lần lượt là trung điểm của EB và OI

nên HK là đường trung bình của hình thang EOIB.

=> HK song song với BI (1)

Mặt khác do AI là đường kính nên góc ABI = 90 (2)\widehat{ABI}=90^o

Từ (1) và (2) suy ra HK\perp EBHK vuông góc với EB(đpcm)

b)

Xét tam giác KBE có KH là trung tuyến đồng thời đường cao (CM trước)

nên KBE là tam giác cân tại K.

=> góc BEK = KBE (3)

Do tam giác ABC cân tại A

nên AI là đường trung trực của BC

Mà K thuộc AI nên KB = KC

hay tam giác KBC cân tại K

=> KBC=KCB 

và ACB=ABC 

.Mặt khác, ta lại có  ACB=  ACK + KCB và ABC = ABK + KBC

=> ABK=ACK(4)

Từ (3) và (4) suy ra \widehat{BEK}=\widehat{KCA}


.

 AEKC là tứ giác nội tiếp.