Question

[Vu Ngoc Hong Chau]

Cho tam giác ABC , ba dường phân giác trong cắt nhau tại I , kẻ đường thằng vuông góc với CI tại I cắt AC, BC  theo thứ tự Mvà N 

c/m \(AI^2=AM.AB\)

Answer 1

[Đinh Phương Nga]

Ta có \(M_1=A_2+I_1=\frac{A}{2}+I_1\)  (1)

Lại có \(M_1=90-C_1\)

(mk giải thích hơi lòng vòng tí thông cảm nha)

           \(2M_1=180-C\) ( vì \(C_1=\frac{1}{2}C\))

    \(\Rightarrow2M_1=A+B\left(180-C=A+B\right)\)

    \(\Rightarrow M_1=\frac{A}{2}+\frac{B}{2}\) (chia cả 2 vế cho 2)    (2)

Từ 1 và 2 suy ra  góc ABI=Góc AIM

Answer 2

[Đinh Phương Nga]

1 2 1 I 1 2 1 1 2 A B C M N

Ta có              ^M₁ = ^A₂ + ^I₁ = 90 - C₁ = \(\frac{A}{2}+\frac{B}{2}\)

                         \(\Rightarrow I_1=\frac{B}{2}=B_1\)

                       \(\Rightarrow\) \(\Delta AIM\infty\Delta ABI\)

                       \(\Rightarrow\frac{AM}{AI}=\frac{AI}{AB}\)

                       \(\Rightarrow AI^2=AM.AB\)