Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
ĐK: \(x,y\ne0\)
Áp dụng BĐT Bunhiacopxki:
\(\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}\ge\frac{1}{2}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)^2\)
Dấu "=" xảy ra khi x=y.
\(\Rightarrow\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)^2\le\frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}}=1\)\(\Rightarrow-1\le\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\le1\)
\(\Leftrightarrow\frac{x+y}{xy}\ge-1\)
\(\Leftrightarrow\frac{x+y+xy}{xy}\ge0\)
*Với xy>0:
\(\Leftrightarrow x+y\ge-xy\)
*Với xy<0:
\(\Leftrightarrow x+y\le-xy\)
Có: \(\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}=\frac{1}{2}\)\(\Rightarrow\frac{2}{x^2}=\frac{1}{2}\Leftrightarrow x=y=2\)
\(\Rightarrow x+y\ge-xy=-4\)
\(\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}=\frac{1}{2}\)
\(\Leftrightarrow\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)^2-\frac{2}{xy}=\frac{1}{2}\)\(\le1-\frac{2}{xy}\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{xy}\le\frac{1}{4}\Leftrightarrow xy\ge4\)
Vậy Amin=-4 khi x=y=2.
Bmin=4 khi x=y=2.
Nếu bài toán ko cho thêm điều kiện x; y dương thì GTNN của cả A lẫn B đều không tồn tại
1/a/
\(A=\frac{2}{xy}+\frac{3}{x^2+y^2}=\left(\frac{1}{xy}+\frac{1}{xy}+\frac{4}{x^2+y^2}\right)-\frac{1}{x^2+y^2}\)
\(\ge\frac{\left(1+1+2\right)^2}{\left(x+y\right)^2}-\frac{1}{\frac{\left(x+y\right)^2}{2}}=16-2=14\)
Dấu = xảy ra khi \(x=y=\frac{1}{2}\)
b/
\(4B=\frac{4}{x^2+y^2}+\frac{8}{xy}+16xy=\left(\frac{4}{x^2+y^2}+\frac{1}{xy}+\frac{1}{xy}\right)+\left(\frac{1}{xy}+16xy\right)+\frac{5}{xy}\)
\(\ge\frac{\left(1+1+2\right)^2}{\left(x+y\right)^2}+2\sqrt{\frac{1}{xy}.16xy}+\frac{5}{\frac{\left(x+y\right)^2}{4}}\)
\(=16+8+20=44\)
\(\Rightarrow B\ge11\)
Dấu = xảy ra khi \(x=y=\frac{1}{2}\)
Bài 1:a,
A=a/b+c + b/a+c + c/a+b = a^2/ab+ac + b^2/ab+bc + c^2/ac+bc
Áp dụng BĐT dạng Angel : A > hoặc = (a+b+c)^2/ab+ac+ab+bc+ac+bc=(a+b+c)^2/2(ab+bc+ca) > hoặc = 3(ab+bc+ca)/2(ab+bc+ca)=3/2
b,làm tt câu a
ta chứng minh BĐT phụ sau:
\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{4}{x+y}\) cái này thì bạn tự cm nhé
Áp dụng BĐT trên
\(\Rightarrow\frac{1}{x^2+xy}+\frac{1}{y^2+xy}\ge\frac{4}{x^2+2xy+y^2}=\frac{4}{\left(x+y\right)^2}\)
Mà \(x+y\le1\Rightarrow\frac{4}{\left(x+y\right)^2}\ge\frac{4}{1}=4\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{x^2+xy}+\frac{1}{y^2+xy}\ge4\left(đpcm\right)\)
Sử dụng bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki dạng phân thức: (ko cần CM) Với a, b, x, y thuộc R thì \(\frac{a^2}{x}+\frac{b^2}{y}\ge\frac{\left(a+b\right)^2}{x+y}\)
Dấu "=" xảy ra <=> \(\frac{a}{x}=\frac{b}{y}\)
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Áp dụng bất đăng thức Bu-nhi-a-cốp-xki dạng phân thức ta có:
\(\frac{1}{x^2+xy}+\frac{1}{y^2+xy}\ge\frac{\left(1+1\right)^2}{x^2+y^2+2xy}=\frac{4}{\left(x+y\right)^2}\) (1)
Ta lại có: x + y <= 1 => (x + y)2 <= 1
=> \(\frac{4}{\left(x+y\right)^2}\ge\frac{4}{1}=4\) (2)
Từ (1) và (2) => \(\frac{1}{x^2+xy}+\frac{1}{y^2+xy}\ge4\)
=> đpcm
áp dùng BDT cô si chúa Pain có
\(\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}\ge2\sqrt{\frac{1}{x^2y^2}}=\frac{2}{xy}\Rightarrow xy\left(\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}\right)\ge2.\)
mà \(\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}=\frac{1}{2}\)
\(\Rightarrow\frac{xy}{2}\ge\Rightarrow xy\ge4\)
b)
áp dụng BDT cô si ta có
\(x+y\ge2\sqrt{xy}\)
lấy từ câu A ta có \(xy\ge4\) " câu a"
suy ra
\(x+y\ge2\sqrt{4}=4\)
Ta có:
\(\frac{1}{2}=\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}\ge\frac{2}{xy}\)
\(\Rightarrow A=xy\ge4\)
Dấu = xảy ra khi x = y = 2
By Titu's Lemma we easy have:
\(D=\left(x+\frac{1}{x}\right)^2+\left(y+\frac{1}{y}\right)^2\)
\(\ge\frac{\left(x+y+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)^2}{2}\)
\(\ge\frac{\left(x+y+\frac{4}{x+y}\right)^2}{2}\)
\(=\frac{17}{4}\)
Mk xin b2 nha!
\(P=\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{1}{xy}+4xy=\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{1}{2xy}+\frac{1}{2xy}+4xy\)
\(\ge\frac{\left(1+1\right)^2}{x^2+y^2+2xy}+\left(4xy+\frac{1}{4xy}\right)+\frac{1}{4xy}\)
\(\ge\frac{4}{\left(x+y\right)^2}+2\sqrt{4xy.\frac{1}{4xy}}+\frac{1}{\left(x+y\right)^2}\)
\(\ge\frac{4}{1^2}+2+\frac{1}{1^2}=4+2+1=7\)
Dấu "=" xảy ra khi: \(x=y=\frac{1}{2}\)
super easy . tập làm đi cho não có nếp nhăn Giang ơi :)
Mik làm bài 3 nha
Để \(\frac{2}{x^2-6x+17}\)đạt GTLN thì
\(x^2-6x+17\)đạt GTNN
Mà \(x^2-6x\ge0\)Do 6x mang dấu trừ
Suy ra \(x^2-6x+17\ge17\)
Suy ra \(x^2-6x+17\)đạt GTNN khi
\(x^2-6x+17=17\)
\(\Leftrightarrow x^2-6x=0\)
Dấu ''='' xảy ra khi:
\(\hept{\begin{cases}x=0\\x=6\end{cases}}\)
Vậy \(\frac{2}{x^2-6x+17}\)đạt GTLN tại \(\hept{\begin{cases}x=0\\x=6\end{cases}}\)
Câu cuôi tương tự
ÁP DỤNG BĐT CAUCHY TA CÓ
\(\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}\ge2\sqrt{\frac{1}{x^2y^2}}=\frac{2}{xy}\)
\(\Rightarrow\frac{1}{2}\ge\frac{2}{xy}\Leftrightarrow\frac{2}{4}\ge\frac{2}{xy}\)
\(\Rightarrow xy\ge4\)
s ngắn z