Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
a) Ta có tứ giác MHNA là hình chữ nhật
\(\Rightarrow\widehat{AMN}=\widehat{AHN}\) ( góc nội tiếp cùng chắn cung AN)
mà \(\widehat{AHN}=\widehat{ACH}\) ( cùng phụ với \(\widehat{HAN}\) )
\(\Rightarrow\widehat{AMN}=\widehat{ACH}\)
Xét \(\Delta AMN\) và \(\Delta ACB\) có:
\(\left\{{}\begin{matrix}\widehat{AMN}=\widehat{ACH}\left(cmt\right)\\\widehat{MAN}chung\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\Delta AMN\sim\Delta ACB\left(g.g\right)\)
\(\Rightarrow\frac{AM}{AC}=\frac{AN}{AB}\Rightarrow AM.AB=AN.AC\left(đpcm\right)\)
b) Xét \(\Delta AHB\) vuông tại H, \(MH\perp AB\) có:
\(MH^2=MA.MB\left(1\right)\)
cmtt: \(NH^2=NA.NC\left(2\right)\)
Ta lại có: \(HB.HC=AH^2=MN^2\)( 2 đường chéo bằng nhau) (3)
Xét \(\Delta MHN\) vuông tại H có
\(\Rightarrow MH^2+HN^2=MN^2=AH^2\left(4\right)\)
Từ (1),(2),(3) và (4) \(\Rightarrow HB.HC=MA.MB+NA.NC\left(đpcm\right)\)
c) Có \(HB=\frac{AC^2}{BC}\)
\(HC=\frac{AC^2}{BC}\)
\(\Rightarrow\frac{BH}{HC}=\frac{AB^2}{BC}:\frac{AC^2}{BC}=\frac{AB^2}{AC^2}=\left(\frac{AB}{AC}\right)^2\)
a/ Có tứ giác MHNA là hcn\(\Rightarrow\widehat{AMN}=\widehat{AHN}\) (góc nt cùng chắn \(\stackrel\frown{AN}\))
Mà \(\widehat{AHN}=\widehat{ACH}\) (cùng phụ vs \(\widehat{HAN}\))
\(\Rightarrow\widehat{AMN}=\widehat{ACH}\)
Xét \(\Delta AMN\) và \(\Delta ACB\) có:
\(\widehat{AMN}=\widehat{ACH}\left(CMT\right)\)
\(\widehat{MAN}\) : góc chung
\(\Rightarrow\Delta AMN\sim\Delta ACB\left(gg\right)\)
\(\Rightarrow\frac{AM}{AC}=\frac{AN}{AB}\Leftrightarrow AM.AB=AN.AC\)
b/ Có \(HB=\frac{AB^2}{BC}\)
\(HC=\frac{AC^2}{BC}\)
\(\Rightarrow\frac{HB}{HC}=\frac{\frac{AB^2}{BC}}{\frac{AC^2}{BC}}=\frac{AB^2}{AC^2}=\left(\frac{AB}{AC}\right)^2\)
c/ Xét \(\Delta AHB\) vuông tại H,\(MH\perp AB\)
\(\Rightarrow MA.MB=MH^2\)(1)
tương tự\(\Rightarrow NA.NC=HN^2\) (2)
\(HB.HC=AH^2=MN^2\) (2 đường chéo bằng nhau)(3)
Xét \(\Delta MHN\) vuông tại H
\(\Rightarrow MH^2+HN^2=MN^2=AH^2\)(4)
Từ (1),(2),(3),(4)\(\Rightarrow HB.HC=MA.MB+NA.NC\)
Xét ΔAHB vuông tại H có HM là đường cao
nên \(AM\cdot AB=AH^2\left(1\right)\)
Xét ΔAHC vuông tại H có HN là đường cao
nên \(AN\cdot AC=AH^2\left(2\right)\)
Từ (1) và (2) suy ra \(AM\cdot AB=AN\cdot AC\)
a) Áp dụng hệ thức lượng trong \(\Delta vAHB\), ta có:
\(AH^2=AM\cdot AB\left(1\right)\)
Áp dụng hệ thức lượng trong \(\Delta vAHC\), ta có:
\(AH^2=AN\cdot AC\left(2\right)\)
Từ(1) và (2) ta được: \(AM\cdot AB=AN\cdot AC\)
b) Ta có: MHNA là hình chữ nhật(pn tự cm nha cái này dễ)
\(\Rightarrow MH=AN\)
Áp dụng hệ thức lượng trong \(\Delta vAHC\), ta có:
\(HN^2=AN\cdot NC\)
Áp dụng hệ thức lượng trong \(\Delta vAHB\), ta có:
\(HM^2=AM\cdot MB\)
Áp dụng hệ thức lượng trong \(\Delta vAHN\), ta có:
\(AN^2+HN^2=AH^2\)
Mà \(MH=AN\)
\(\Rightarrow MH^2+HN^2=AH^2\)
\(\Rightarrow BM\cdot MA+AN\cdot NC=BH\cdot HC\)
c) Áp dụng hệ thức lượng trong \(\Delta vABC\), ta có:
\(AC^2=HC\cdot BC\left(1\right)\)
Áp dụng hệ thức lượng trong \(\Delta vABC\), ta có:
\(AB^2=HB\cdot BC\left(2\right)\)
Lấy (2) chia (1) ta được: \(\dfrac{HB}{HC}=\left(\dfrac{AB}{AC}\right)^2\)
d) Áp dụng hệ thức lượng trong \(\Delta vABC\), ta có:
\(AC^2=HC\cdot BC\Rightarrow AC^4=HC^2\cdot BC^2\)
\(\Rightarrow AC^4=NC\cdot AC\cdot BC^2\Rightarrow AC^3=NC\cdot BC^2\left(1\right)\)
Áp dụng hệ thức lượng trong \(\Delta vABC\), ta có:
\(AB^2=HB\cdot BC\Rightarrow AB^4=HB^2\cdot BC^2\)
\(\Rightarrow AB^4=BM\cdot AB\cdot BC^2\Rightarrow AB^3=BM\cdot BC^2\left(2\right)\)
Lấy (2) chia (1) ta được: \(\dfrac{BM}{CN}=\left(\dfrac{AB}{AC}\right)^3\)
a) Xét \(\Delta ABC\) vuông tại A có AH là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền BC
\(\Rightarrow AM=\dfrac{1}{2}BC\Rightarrow5=\dfrac{1}{2}BC\Rightarrow BC=10\left(cm\right)\)
Xét \(\Delta ABC\) vuông tại A có \(\cos B=\dfrac{AB}{BC}=\dfrac{6}{10}=0.6\Rightarrow\widehat{B}\approx53^o\)
\(\Rightarrow\sin B=\sin53^o\approx0.8=\dfrac{AH}{AB}=\dfrac{AH}{6}\Rightarrow AH=4,8\left(cm\right)\)
b) Xét \(\Delta ABH\) vuông tại H: \(BH=AB.\cos B\)
Tương tự: \(HC=AC.\cos C\)
Cộng hai vế của hai đẳng thức trên, ta được điều phải chứng minh