Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
a) Xét 2 tam giác vuông AMB và ANC có: \(\widehat{MAB}=\widehat{NAC}\) ( do AD là tia phân giác ^A )
\(\Rightarrow\)\(\Delta AMB~\Delta ANC\) ( g-g ) \(\Rightarrow\)\(\frac{BM}{AB}=\frac{CN}{AC}\)
b) Theo bđt 3 điểm ta có: \(\hept{\begin{cases}BM+DM\le BD\\CN+DN\le CD\end{cases}}\)\(\Rightarrow\)\(BM+CN+DM+DN\le BC\)
\(\Rightarrow\)\(BM+CN\le BC\)
Dấu "=" xảy ra khi \(\hept{\begin{cases}M\in BD,AD\\N\in CD,AD\end{cases}}\)\(\Rightarrow\)\(M\equiv N\equiv D\)\(\Rightarrow\)\(BD\perp AD;CD\perp AD\) hay tam giác ABC có AD vừa là đường phân giác vừa là đường cao => tam giác ABC cân tại A
c) Có: \(\sin\left(\frac{A}{2}\right)=\frac{BM}{AB}=\frac{CN}{AC}=\frac{BM+CN}{AB+AC}\le\frac{BC}{AB+AC}\le\frac{BC}{2\sqrt{AB.AC}}\)
Dấu "=" xảy ra khi tam giác ABC cân tại A
A B C D 45 45
Đặt AB = c; AC = b; AD = d.
Áp dụng công thức tính diện tích tam giác bằng ½ tích hai cạnh nhân sin góc xen giữa ta có:
S ABD = ½.AB.AD.sin BAD = ½.cd.sin 45º = ½cd.\(\dfrac{1}{\sqrt{2}}\)
Tương tự: S ACD = ½bd.\(\dfrac{1}{\sqrt{2}}\)
=> S ABC = S ABD + S ACD = ½cd.\(\dfrac{1}{\sqrt{2}}\) + ½bd.\(\dfrac{1}{\sqrt{2}}\) = \(\dfrac{\dfrac{1}{2}d\left(b+c\right)}{\sqrt{2}}\)
mà S ABC = ½bc
=> \(\dfrac{\dfrac{1}{2}d\left(b+c\right)}{\sqrt{2}}\) = ½bc
=>\(\dfrac{\left(b+c\right)}{bc}\) = \(\dfrac{\sqrt{2}}{d}\)
<=> \(\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\) = \(\dfrac{\sqrt{2}}{d}\)\(\Rightarrowđpcm\)
A B D C E
a/ \(S_{ABD}=\frac{1}{2}AB.AD.sin\widehat{BAD}=AB.AD.\frac{\sqrt{2}}{4}\)
\(S_{ACD}=\frac{1}{2}AC.AD.sin\widehat{CAD}=AC.AD.\frac{\sqrt{2}}{4}\)
\(S_{ABC}=\frac{1}{2}AB.AC\)
Suy ra : \(S_{ABC}=S_{ABD}+S_{ACD}\Leftrightarrow\frac{1}{2}AB.AC=\frac{\sqrt{2}}{4}AD.\left(AB+AC\right)\Rightarrow\frac{1}{AB}+\frac{1}{AC}=\frac{\sqrt{2}}{AD}\)
b/ Tương tự
Hình tự vẽ
Từ D kẻ DE ⊥ AB (E ∈ AB); DF ⊥ AC (F ∈ AC)
Tứ giác AEDF có: \(\widehat{DEA}=\widehat{EAF}=\widehat{AFD}=90^o\)
=> AEDF là hình chữ nhật. Lại có AD là tia phân giác \(\widehat{EAF}\)
=> AEDF là hình vuông
=> AE = AF = DF = DE = \(\dfrac{AD}{\sqrt{2}}\)
Xét ΔBED và ΔDFC có:
\(\widehat{BED}=\widehat{DFC}=90^o\)
\(\widehat{EBD}=\widehat{FDC}\) (cùng phụ với \(\widehat{ACB}\))
=> ΔBED ~ ΔDFC (g.g)
=> \(\dfrac{BE}{DF}=\dfrac{ED}{FC}\Rightarrow\dfrac{AB-AE}{DF}=\dfrac{ED}{AC-AF}\)
=> (AB - \(\dfrac{AD}{\sqrt{2}}\))(AC - \(\dfrac{AD}{\sqrt{2}}\)) = \(\dfrac{AD}{\sqrt{2}}.\dfrac{AD}{\sqrt{2}}\)
=> AB.AC - \(\dfrac{AD}{\sqrt{2}}\)(AB + AC) + \(\dfrac{AD^2}{2}\) = \(\dfrac{AD^2}{2}\)
=> AB.AC = \(\dfrac{AD}{\sqrt{2}}\)(AB + AC)
=> \(\dfrac{AB.AC}{AB+AC}=\dfrac{AD}{\sqrt{2}}\)
=> \(\dfrac{AB+AC}{AB.AC}=\dfrac{\sqrt{2}}{AD}\Rightarrow\dfrac{1}{AB}+\dfrac{1}{AD}=\dfrac{\sqrt{2}}{AD}\)
ABCD
Ta có : SABC=SDAB+SDACSABC=SDAB+SDAC
12AB.AC=12AB.AD.sin45o+12AC.AD.sin45o=12AD.sin45o(AB+AC)12AB.AC=12AB.AD.sin45o+12AC.AD.sin45o=12AD.sin45o(AB+AC)
⇔AB+ACAB.AC=√2AD⇔√2AD=1AB+1AC
Cho tam giác ABC vuông tại A,phân giác AD
a,CM √2AD =1AB +1AC
b, Gọi I là giao điểm các đường phân giác của tam giác ABC, biết IB=√5,IC=√10. Tính diện tích tam giác ABC
a) Đặt AB = c; AC = b; AD = d.
Áp dụng công thức tính diện tích tam giác bằng ½ tích hai cạnh nhân sin góc xen giữa ta có:
S ABD = ½.AB.AD.sin BAD = ½.cd.sin 45º = ½cd.1/√2
Tương tự: S ACD = ½bd.1/√2
=> S ABC = S ABD + S ACD = ½cd.1/√2 + ½bd.1/√2 = ½d(b + c)/√2
mà S ABC = ½bc
=> ½d(b + c)/√2 = ½bc
=> (b + c)/bc = √2/d
<=> 1/b + 1/c = √2/d
b,Kẻ CH ⊥ BI và CH cắt BA tại K. Tam giác BCK có BH vừa là phân giác vừa là đường cao Tam giác BCK cân tại B => BH là đường trung tuyến => CH = KH. và KC = 2HC.
Đặt BC = x Ta có: AD = BK - AB = BC - AB = x - AB
Gọi giao điểm của AC và BH là E.
Xét tam giác AEB và tam giác HEC có góc EAB = góc EHC = 90độ và góc AEB = góc HEC (đối đỉnh)
tam giác AEB ~ tam giác HEC(g.g)
Góc HCE = góc ABE.
Góc HCE = góc ABC/2 (1)
Mà Góc ECI = gócACB/2 (2)
Từ (1) và (2) Góc ICH = Góc HCE + Góc ECI = (gócABC + góc ACB)/2 = 90độ/2 = 45độ.
Xét tam giác HIC có góc IHC = 90độ và Góc ICH = 45 độ (góc còn lại chắc chắn = 45 độ)
tam giác HIC vuông cân tại H => HI = HC.
Áp dụng đinh lý Py-ta-go cho tam giác này ta được: 2HI² = IC²
√2.IH = IC hay CH = IC/√2.
CH =HI=√10 /√2
Suy ra BH=HI+IB=√10 /√2+√5
=>BC=√((√10 /√2+√5)²+(√10 /√2)²)
KC = 2CH = 2.√10/√2
Xét tam giác: AKC có góc KAC = 90độ và Áp dụng định lý Py-ta-go ta có: KC² = AK² + AC²
AC² = KC² - AK² hay AC² = (2.√10/√2)² - (x - AB)² (3)
Tương tự đối với tam giác ABC ta có: AC² = BC² - AB² AC² = x² - AB² (4)
Từ (3) và (4) suy ra (2.√10/√2)² - (x - AB)² = x² - AB²
20 - (x² - 2ABx +AB²) = x² - AB²
=>10=x(x-AB)
sau đó tính AB rồi tính AC And S ABC
vì sao mà từ DE bạn suy ra được AD ?