KC
0
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
ML
23 tháng 5 2018
Với mọi n nguyên dương ta có:
\(\left(\sqrt{n+1}+\sqrt{n}\right)\left(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\right)=1\Rightarrow\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}=\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\)
Với k nguyên dương thì
\(\frac{1}{\sqrt{k-1}+\sqrt{k}}>\frac{1}{\sqrt{k+1}+\sqrt{k}}\Rightarrow\frac{2}{\sqrt{k-1}+\sqrt{k}}>\frac{1}{\sqrt{k-1}+\sqrt{k}}+\frac{1}{\sqrt{k+1}+\sqrt{k}}=\sqrt{k}-\sqrt{k-1}+\sqrt{k+1}-\sqrt{k}\)
\(=\sqrt{k+1}-\sqrt{k-1}\)(*)
Đặt A = vế trái. Áp dụng (*) ta có:
\(\frac{2}{\sqrt{1}+\sqrt{2}}>\sqrt{3}-\sqrt{1}\)
\(\frac{2}{\sqrt{3}+\sqrt{4}}>\sqrt{5}-\sqrt{3}\)
...
\(\frac{2}{\sqrt{79}+\sqrt{80}}>\sqrt{81}-\sqrt{79}\)
Cộng tất cả lại
\(2A=\frac{2}{\sqrt{1}+\sqrt{2}}+\frac{2}{\sqrt{3}+\sqrt{4}}+....+\frac{2}{\sqrt{79}+\sqrt{80}}>\sqrt{81}-1=8\Rightarrow A>4\left(đpcm\right)\)
3.
Theo bất đẳng thức cô si ta có:
\(\sqrt{b-1}=\sqrt{1.\left(b-1\right)}\le\frac{1+b-1}{2}=\frac{b}{2}\Rightarrow a.\sqrt{b-1}\le\frac{a.b}{2}\)
Tương tự \(\Rightarrow b.\sqrt{a-1}\le\frac{a.b}{2}\Rightarrow a.\sqrt{b-1}+b.\sqrt{a-1}\le a.b\)
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(a=b=2\)
5 tháng 8 2018
a) \(\sqrt{6+2\sqrt{5}}+\sqrt{6-2\sqrt{5}}=\sqrt{1+2\sqrt{5}+\left(\sqrt{5}\right)^2}+\sqrt{1-2\sqrt{5}+\left(\sqrt{5}\right)^2}\)\(=\sqrt{\left(1+\sqrt{5}\right)^2}+\sqrt{\left(1-\sqrt{5}\right)^2}=1+\sqrt{5}-\left(1-\sqrt{5}\right)=1+\sqrt{5}-1+\sqrt{5}=2\sqrt{5}\)
KT
5 tháng 8 2018
a) \(\sqrt{6+2\sqrt{5}}+\sqrt{6-2\sqrt{5}}\)
\(=\sqrt{\left(\sqrt{5}+1\right)^2}+\sqrt{\left(\sqrt{5}-1\right)^2}\)
\(=\sqrt{5}+1+\sqrt{5}-1=2\sqrt{5}\)
b) \(\sqrt{13+4\sqrt{10}}+\sqrt{13-4\sqrt{10}}\)
\(=\sqrt{\left(2\sqrt{2}+\sqrt{5}\right)^2}+\sqrt{\left(2\sqrt{2}-\sqrt{5}\right)^2}\)
\(=2\sqrt{2}+\sqrt{5}+2\sqrt{2}-\sqrt{5}=4\sqrt{2}\)
c) \(\sqrt{8\sqrt{3}}-2\sqrt{25\sqrt{12}}+4\sqrt{\sqrt{192}}\)
\(=2\sqrt{2\sqrt{3}}-10\sqrt{2\sqrt{3}}+8\sqrt{2\sqrt{3}}=0\)
5 tháng 7 2019
Với mọi a nguyên dương ,
Ta có:
\(\frac{1}{\sqrt{a}}=\frac{2}{2\sqrt{a}}>\frac{2}{\sqrt{a}+\sqrt{a+1}}=2\left(\sqrt{a-1}-\sqrt{a}\right)=2\sqrt{a-1}-2\sqrt{a}\)
Biểu thức:
\(B=\frac{1}{\sqrt{1}}+\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+...+\frac{1}{\sqrt{24}}\)
\(>2\sqrt{2}-2\sqrt{1}+2\sqrt{3}-2\sqrt{2}+2\sqrt{4}-2\sqrt{3}+...+2\sqrt{25}-2\sqrt{24}\)
\(=-2\sqrt{1}+2\sqrt{25}=-2+10=8\)
Vậy B>8
TB
23 tháng 7 2018
Mấy bài này dài vật vã ghê =)))))))))))))
1, a, \(\frac{3+4\sqrt{3}}{\sqrt{6}+\sqrt{2}-\sqrt{5}}\)
= \(\frac{\left(3+4\sqrt{3}\right)\left(\sqrt{6}+\sqrt{2}+\sqrt{5}\right)}{\left(\sqrt{6}+\sqrt{2}-\sqrt{5}\right)\left(\sqrt{6}+\sqrt{2}+\sqrt{5}\right)}\)
=\(\frac{\left(3+4\sqrt{3}\right)\left(\sqrt{6}+\sqrt{2}+\sqrt{5}\right)}{\left(\sqrt{6}+\sqrt{2}\right)^2-5}\)
=\(\frac{\left(3+4\sqrt{3}\right)\left(\sqrt{6}+\sqrt{2}+\sqrt{5}\right)}{8+4\sqrt{3}-5}\)
= \(\frac{\left(3+4\sqrt{3}\right)\left(\sqrt{6}+\sqrt{2}+\sqrt{5}\right)}{3+4\sqrt{3}}\)
=\(\sqrt{6}+\sqrt{2}+\sqrt{5}\)
b, M = \(\frac{\sqrt{3}\left(x-1\right)}{\sqrt{x^2}-x+1}\)(ĐKXĐ: \(x\ge0\))
= \(\frac{\sqrt{3}\left(x-1\right)}{x-x+1}\)
= \(\sqrt{3}\left(x-1\right)\)
Thay x = \(2+\sqrt{3}\)(TMĐK) vào M ta có:
M = \(\sqrt{3}\left(2+\sqrt{3}-1\right)=\sqrt{3}\left(1+\sqrt{3}\right)=3+\sqrt{3}\)
Vậy với x = \(2+\sqrt{3}\)thì M = \(3+\sqrt{3}\)
2, Mình chỉ giải câu a thôi nhé:
\(\sqrt{1+b}+\sqrt{1+c}\ge2\sqrt{1+a}\)
\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{1+b}+\sqrt{1+c}\right)^2\ge\left(2\sqrt{1+a}\right)^2\)
\(\Leftrightarrow1+b+2\sqrt{\left(1+b\right)\left(1+c\right)}+1+c\ge4\left(1+a\right)\)
\(\Leftrightarrow2+b+c+2\sqrt{\left(1+b\right)\left(1+c\right)}\ge4\left(1+a\right)\left(1\right)\)
Vì \(\left(\sqrt{1+b}-\sqrt{1+c}\right)^2\ge0\)
\(\Rightarrow2+b+c\ge2\sqrt{\left(1+b\right)\left(1+c\right)}\left(2\right)\)
Từ \(\left(1\right),\left(2\right)\Rightarrow4+2\left(b+c\right)+2\sqrt{\left(1+b\right)\left(1+c\right)}\ge4\left(1+a\right)+2\sqrt{\left(1+b\right)\left(1+c\right)}\)
\(\Leftrightarrow4+2\left(b+c\right)\ge4\left(1+a\right)\)
\(\Leftrightarrow4+2\left(b+c\right)\ge4+4a\)
\(\Leftrightarrow2\left(b+c\right)\ge4a\)
\(\Leftrightarrow b+c\ge2a\)
4*. Thật ra cái này mình xài làm trội, làm giảm là được mà
Đặt A = \(\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+....+\frac{1}{\sqrt{n}}\)
\(\frac{1}{2}A=\frac{1}{2\sqrt{2}}+\frac{1}{2\sqrt{3}}+....+\frac{1}{2\sqrt{n}}\)
\(\frac{1}{2}A=\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{3}}+....+\frac{1}{\sqrt{n}+\sqrt{n}}\)
Ta có: \(\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{2}}>\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}\)
\(\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{3}}>\frac{1}{\sqrt{4}+\sqrt{3}}\)
+ .........................................................
\(\frac{1}{\sqrt{n}+\sqrt{n}}>\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}\)
Cộng tất cả vào
\(\Rightarrow\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{3}}+...+\frac{1}{\sqrt{n}+\sqrt{n}}>\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{4}+\sqrt{3}}+...+\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}\)\(\frac{1}{2}A>\frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{3-2}+\frac{\sqrt{4}-\sqrt{3}}{4-3}+...+\frac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}{n+1-n}\)
\(\frac{1}{2}A>\sqrt{3}-\sqrt{2}+\sqrt{4}-\sqrt{3}+...+\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\)
\(\frac{1}{2}A>\sqrt{n+1}-\sqrt{2}\)
\(A>2\sqrt{n+1}-2\sqrt{2}>2\sqrt{n+1}-3\)
\(A+1>2\sqrt{n+1}-3+1\)
\(A+1>2\sqrt{n+1}-2\)
\(A+1>2\left(\sqrt{n+1}-1\right)\)
Vậy ta có điều phải chứng minh.
5 tháng 8 2018
\(\sqrt{10-4\sqrt{6}}+\sqrt{33-12\sqrt{6}}\)
\(=\sqrt{2^2-2.2.\sqrt{6}+\left(\sqrt{6}\right)^2}+\sqrt{3^2-2.3.2\sqrt{6}+\left(2\sqrt{6}\right)^2}\)
\(=\sqrt{\left(2-\sqrt{6}\right)^2}+\sqrt{\left(3-2\sqrt{6}\right)^2}\)
\(=-\left(2-\sqrt{6}\right)-\left(3-2\sqrt{6}\right)\)
\(=-2+\sqrt{6}-3+2\sqrt{6}\)
\(=-5+3\sqrt{6}\)
5 tháng 8 2018
\(\sqrt{16-6\sqrt{7}}+\sqrt{32-8\sqrt{7}}\)
\(=\sqrt{3^2-2.3.\sqrt{7}+\left(\sqrt{7}\right)^2}+\sqrt{2^2-2.2.2\sqrt{7}+\left(2\sqrt{7}\right)^2}\)
\(=\sqrt{\left(3-\sqrt{7}\right)^2}+\sqrt{\left(2-2\sqrt{7}\right)^2}\)
\(=3-\sqrt{7}-\left(2-2\sqrt{7}\right)\)
\(=3-\sqrt{7}-2+2\sqrt{7}\)
\(=1+\sqrt{7}\)
25 tháng 7 2019
\(x_o^3=a+\sqrt[3]{a+\sqrt{a^2+b^3}}-\sqrt[3]{a^2+b^3}+a-3\sqrt[3]{\left(a+\sqrt{a^2+b^3}\right)\left(\sqrt{a^2+b^3}-a\right)}.x_o\)
\(\Leftrightarrow x_o^3=2a-3x_o\sqrt[3]{a^2-a^2-b^3}\)
\(\Leftrightarrow x_o^3+2bx_o-2a=0\)
nên x0 là 1 nghiệm của pt đó
13 tháng 6 2015
a) ĐK: a>0, a khác 1, a khác 1/4
P=\(1+\left(2+\frac{\sqrt{a}\left(\sqrt{a}-1\right)}{a\sqrt{a}}-\frac{2\sqrt{a}-1}{\sqrt{a}-1}\right).\frac{\sqrt{a}-1}{2\sqrt{a}-1}=1+\left(\frac{\left(2a+\sqrt{a}-1\right)\left(\sqrt{a}-1\right)}{a\left(\sqrt{a}-1\right)}-\frac{\left(2\sqrt{a}-1\right)a}{a\left(\sqrt{a}-1\right)}\right).\frac{\sqrt{a}-1}{2\sqrt{a}-1}\)
\(P=\frac{2a\sqrt{a}-a-2\sqrt{a}+1-2a\sqrt{a}+a}{a\left(\sqrt{a}-1\right)}.\frac{\sqrt{a}-1}{2\sqrt{a}-1}=\frac{-\left(2\sqrt{a}-1\right)}{a\left(2\sqrt{a}-1\right)}=-\frac{1}{a}\)
b)
ta có: a>0 => -1/a<0 ; 2/3>0 => Pkhông thể > 2/3 đc. bạn xem lại đề rồi có gì liên hệ vs mình nha.
nhớ L IK E
17 tháng 10 2018
CM bđt phụ nhá: \(\frac{1}{n\sqrt{n+1}+\left(n+1\right)\sqrt{n}}=\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}}\) \(\left(n\inℕ^∗\right)\)
\(VT=\frac{\left(n+1\right)\sqrt{n}-n\sqrt{n+1}}{\left(\left(n+1\right)\sqrt{n}-n\sqrt{n+1}\right)\left(\left(n+1\right)\sqrt{n}+n\sqrt{n+1}\right)}\)
\(VT=\frac{\left(n+1\right)\sqrt{n}-n\sqrt{n+1}}{\left(n+1\right)^2n-n^2\left(n+1\right)}\)
\(VT=\frac{\left(n+1\right)\sqrt{n}-n\sqrt{n+1}}{n\left(n^2+2n+1-n^2-n\right)}\)
\(VT=\frac{\left(n+1\right)\sqrt{n}-n\sqrt{n+1}}{n\left(n+1\right)}\)
\(VT=\frac{\left(n+1\right)\sqrt{n}}{n\left(n+1\right)}-\frac{n\sqrt{n+1}}{n\left(n+1\right)}\)
\(VT=\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}}=VP\)
Áp dụng vào A ta có :
\(A=\frac{1}{1\sqrt{2}+2\sqrt{1}}+\frac{1}{2\sqrt{3}+3\sqrt{2}}+...+\frac{1}{399\sqrt{400}+400\sqrt{399}}\) ( olm bị lỗi nên ko dám viết nhìu )
\(A=\frac{1}{\sqrt{1}}-\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{1}{\sqrt{3}}+...+\frac{1}{\sqrt{399}}-\frac{1}{\sqrt{400}}\)
\(A=1-\frac{1}{20}=\frac{19}{20}\)
Vậy \(A=\frac{19}{20}\)
Chúc bạn học tốt ~
14 tháng 9 2020
a)\(\sqrt{4-2\sqrt{3}}-\sqrt{3}=\sqrt{3-2\sqrt{3}+1}-\sqrt{3}\)
\(=\sqrt{\left(\sqrt{3}-1\right)^2}-\sqrt{3}=\sqrt{3}-1-\sqrt{3}=-1\)
b) \(\sqrt{11+6\sqrt{2}}-3+\sqrt{2}=\sqrt{9+6\sqrt{2}+2}-3+\sqrt{2}\)
\(=\sqrt{\left(3+\sqrt{2}\right)^2}-3+\sqrt{2}=3+\sqrt{2}-3+\sqrt{2}=2\sqrt{2}\)
c) \(\sqrt{25x^2}-2x=-5x-2x=-7x\)(vì x < 0)
d) \(x-5+\sqrt{25-10x+x^2}=x-5+\sqrt{\left(5-x\right)^2}=x-5+x-5=2x-10\) (vì x > 5)