SG
2
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
CH
Cô Hoàng Huyền
Admin
VIP
15 tháng 1 2018
Ta có: \(\frac{a^2+b^2}{\left(4a+3b\right)\left(3a+4b\right)}\ge\frac{1}{25}\Leftrightarrow\frac{a^2+b^2}{\left(4a+3b\right)\left(3a+4b\right)}-\frac{1}{25}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\frac{25a^2+25b^2-12a^2-25ab-12b^2}{25\left(4a+3b\right)\left(3a+4b\right)}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\frac{13a^2-25ab+13b^2}{25\left(4a+3b\right)\left(3a+4b\right)}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\frac{13\left(a^2-2.\frac{25}{26}ab+\frac{625}{676}b^2\right)+\frac{51}{52}b^2}{25\left(4a+3b\right)\left(3a+4b\right)}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\frac{13\left(a-\frac{25}{26}b\right)^2+\frac{51}{52}b^2}{25\left(4a+3b\right)\left(3a+4b\right)}\ge0\)
Do a, b > 0 nên cả tử và mẫu của phân thức bên vế trái đều lớn hơn 0.
Vậy bất đẳng thức cuối là đúng hay \(\frac{a^2+b^2}{\left(4a+3b\right)\left(3a+4b\right)}\ge\frac{1}{25}\forall a,b>0;a\ne-\frac{3b}{4};b\ne-\frac{4b}{3}\)
25 tháng 6 2019
17) \(\frac{10x^2-7x-5}{2x-3}\) là số nguyên khi 10x² - 7x - 5 \(⋮\) 2x - 3
Ta có: 10x² - 7x - 5 = 10x² - 15x + 8x - 12 + 7 = 5x(2x-3) + 4(2x-3) + 7
\(\Rightarrow\) 10x² - 7x - 5 \(⋮\) 2x - 3 khi và chỉ khi 7 chia hết cho 2x-3
\(\Rightarrow\) 2x - 3 \(\in\) Ư(7) \(\Leftrightarrow\) 2x - 3 = \(\left\{-1;1;-7;7\right\}\)
TH1: 2x-3 = -1 <=> x = 1
TH2: 2x-3 = 1 <=> x = 2
TH3: 2x-3 = -7 <=> x = -2
TH4: 2x-3 = 7 <=> x = 5
Vây có 4 giá trị nguyên của x là \(\left\{-2;1;2;5\right\}\)
25 tháng 6 2019
23) Cm rằng
a) a2+b2−2ab ≥0
Ta có: a2+b2−2ab = a2−2ab+b2 = (a - b)2 ≥ 0 (đpcm)
b)\(\frac{a^2+b^2}{2}\) ≥ ab
Ta có: (a-b)2 ≥0 vs mọi a,b
\(\Leftrightarrow\) a2−2ab+b2 ≥0
\(\Leftrightarrow\) a2+b2 ≥ 2ab
\(\Leftrightarrow\) \(\frac{a^2+b^2}{2}\) ≥ ab (đpcm)
c) a(a+2)<(a+1)2
Ta có: a(a+2)= a2+2a
(a+1)2 = a2 + 2a + 1
\(\Rightarrow\) a(a+2)<(a+1)2 (đpcm)
d) m2+n2+2 ≥ 2(m+n)
Ta có: (m-n)2 \(\ge\) 0
\(\Leftrightarrow\) m2- 2mn+n2 \(\ge\) 0
\(\Leftrightarrow\) m2+n2 \(\ge\) 2mn
\(\Leftrightarrow\) m2+n2+2 \(\ge\) 2mn+2
\(\Leftrightarrow\) m2+n2+2 ≥ 2(m+n) (đpcm)
e) (a+b)(\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\))≥4 (với a>0, b>0)
Ta có: (a - b)2 ≥ 0
\(\Leftrightarrow\) a2−2ab+b2 ≥ 0
\(\Leftrightarrow\) a2+2ab - 4ab+b2 ≥ 0
\(\Leftrightarrow\) (a + b)2 - 4ab≥ 0
\(\Leftrightarrow\) (a + b)2 ≥ 4ab
\(\Leftrightarrow\) \(\frac{\left(a+b\right)^2}{ab}\) ≥ 4
\(\Leftrightarrow\) (a+b) ( \(\frac{a+b}{ab}\) ) ≥ 4
\(\Leftrightarrow\) (a+b)(\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\))≥4 (vs a,b > 0) (đpcm)
13 tháng 7 2020
\(\Sigma_{sym}a^4b^4\ge\frac{\left(\Sigma_{sym}a^2b^2\right)^2}{3}\ge\frac{\left(\Sigma_{sym}ab\right)^4}{27}\ge\frac{a^2b^2c^2\left(a+b+c\right)^2}{3}=3a^4b^4c^4\)
13 tháng 7 2020
\(\Sigma\frac{a^5}{bc^2}\ge\frac{\left(a^3+b^3+c^3\right)^2}{abc\left(a+b+c\right)}\ge\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^4}{abc\left(a+b+c\right)^3}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^6\left(a^2+b^2+c^2\right)}{27abc\left(a+b+c\right)^3}\)
\(\ge\frac{\left(3\sqrt[3]{abc}\right)^3\left(a^2+b^2+c^2\right)}{27abc}=a^2+b^2+c^2\)
3 tháng 4 2020
Ta có: BĐT phụ sau: \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge\frac{9}{a+b+c}\)( CM bằng BĐT Shwars nha).Áp dụng ta có:
\(\frac{1}{a+3b+5c}+\frac{1}{b+3c+5a}+\frac{1}{3a+2b+4c}\ge\frac{9}{9a+6b+12c}=\frac{3}{3a+2b+4c}\left(1\right)\)
\(\frac{1}{b+3c+5a}+\frac{1}{c+3a+5b}+\frac{1}{3b+2c+4a}\ge\frac{9}{9b+6c+12a}=\frac{3}{3b+2c+4a}\left(2\right)\)
\(\frac{1}{c+3a+5b}+\frac{1}{a+3b+5c}+\frac{1}{3c+2a+4b}\ge\frac{9}{9c+6a+12b}=\frac{3}{3c+2a+4b}\left(3\right)\)
Cộng (1),(2) và (3) có:
\(2\left(\frac{1}{a+3b+5c}+\frac{1}{b+3c+5c}+\frac{1}{c+3a+5b}\right)+\left(\frac{1}{3a+2b+4c}+\frac{1}{3b+2c+4a}+\frac{1}{3c+2a+4b}\right)\ge3\left(\frac{1}{3a+2b+4c}+\frac{1}{3b+2c+4a}+\frac{1}{3c+2a+4b}\right)\)
\(\Rightarrow2VP\ge2VT\)
\(\RightarrowĐPCM\)
SG
1
AT
1
21 tháng 9 2019
Dùng điểm rơi a=b=1
Gọi M là biểu thức đầu bài ta có
\(M=\frac{3}{2}\sqrt{\left(3a+1\right).4}+\sqrt{\left(3b+1\right).4}\le\frac{3}{4}\left(3a+5\right)+\frac{1}{2}\left(3b+5\right)\)
\(=\frac{9a+6b}{4}+\frac{25}{4}=\frac{15}{4}+\frac{25}{4}=10\)
HA
4
H
12 tháng 6 2019
3a+5>3b+2
Ta có:
a>b => 3a>3b
=> 3a+5>3b+5
Lại có: 5>2
=> 3b+5>3b+2
=> 3a+5>3b+5>3b+2
Hay 3a+5>3b+2
12 tháng 6 2019
a, vì a > b nên 3a > 3b => 3a + 2 > 3b + 2 (1)
Mà 3a + 2 < 3a + 5 (2)
Từ (1) và (2) suy vô ra : 3a + 5 > 3b+2 (đpcm)
b, vì a > b nên -4a < -4b => 2-4a < 2- 4b
mà 2-4b < 3-4b nên 2-4a < 3-4b
NL
2
16 tháng 9 2016
a^3/b +a^3/b +b^2 >=3.a^2
=>2a^3/b +b^2>=3a^2
tuong tu
2b^3/c +c^2 >=3.b^2
2c^3/a +a^2 >=3.c^2
cog lai ta dc
2(a^3/b+b^3/c+c^3/a) +(a^2+b^2+c^2) >=3.(a^2+b^2+c^2)
=>a^3/b+b^3/c+c^3/a >=a^2+b^2+c^2
mat khc
a^2+b^2+c^2>=ab+bc+ca
nen
a^3/b+b^3/c+c^3/a >=ab+bc+ca
dau = xay ra khi a=b=c
k nha
10 tháng 4 2018
a^3/b +a^3/b +b^2 >=3.a^2
=>2a^3/b +b^2>=3a^2
tuong tu
2b^3/c +c^2 >=3.b^2
2c^3/a +a^2 >=3.c^2
cog lai ta dc
2(a^3/b+b^3/c+c^3/a) +(a^2+b^2+c^2) >=3.(a^2+b^2+c^2)
=>a^3/b+b^3/c+c^3/a >=a^2+b^2+c^2
mat khc
a^2+b^2+c^2>=ab+bc+ca
nen
a^3/b+b^3/c+c^3/a >=ab+bc+ca
dau = xay ra khi a=b=c
a. Ta có: a > b ⇔ 3a > 3b ⇔ 3a + 5 > 3b + 5 (1)
Mặt khác: 3b + 5 > 3b + 2 (2)
Từ (1) và (2) suy ra: 3a + 5 > 3b + 2
b. Ta có: a > b ⇔ -4a < -4b ⇔ 3 – 4a < 3 – 4b (1)
Mặt khác: 2 – 4a < 3 – 4a (2)
Từ (1) và (2) suy ra: 2 – 4a < 3 – 4b
a. Ta có: a > b ⇔ 3a > 3b ⇔ 3a + 5 > 3b + 5 (1)
Mặt khác: 3b + 5 > 3b + 2 (2)
Từ (1) và (2) suy ra: 3a + 5 > 3b + 2
b. Ta có: a > b ⇔ -4a < -4b ⇔ 3 – 4a < 3 – 4b (1)
Mặt khác: 2 – 4a < 3 – 4a (2)
Từ (1) và (2) suy ra: 2 – 4a < 3 – 4b