Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(A=\dfrac{\left(a-b\right)^2}{ab}+\dfrac{\left(b-c\right)^2}{bc}+\dfrac{\left(c-a\right)^2}{ca}\)
\(B=\left(a+b+c\right)\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)\)
..................................
\(A=\dfrac{a^2+b^2-2ab}{ab}+\dfrac{b^2-2ab+c^2}{bc}+c^2+a^2-\dfrac{2ca}{ca}\)
\(A=\left(\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}-2\right)+\left(\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{b}-2\right)+\left(\dfrac{c}{a}+\dfrac{a}{c}-2\right)=\dfrac{\left(b+c\right)}{a}+\dfrac{a+c}{b}+\dfrac{a+b}{c}-6\)
\(A=\left[\dfrac{\left(b+c\right)}{a}+1\right]+\left[\dfrac{\left(a+c\right)}{b}+1\right]+\left[\dfrac{\left(a+b\right)}{c}+1\right]-9\)
\(A=\dfrac{\left(a+b+c\right)}{a}+\dfrac{\left(a+b+c\right)}{b}+\left[\dfrac{\left(a+b+c\right)}{c}\right]-9\)
\(A=\left(a+b+c\right)\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)-9\)
Ket luan
\(A\ne B\) => đề sai--> hoặc mình công trừ sai
Bài 1:
(a)
Vì $a,b,c$ là độ dài ba cạnh tam giác nên theo BĐT tam giác ta có:
\(\left\{\begin{matrix} a+b>c\\ b+c>a\\ c+a>b\end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} c(a+b)>c^2\\ a(b+c)>a^2\\ b(c+a)>b^2\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow c(a+b)+a(b+c)+b(c+a)> c^2+a^2+b^2\)
\(\Leftrightarrow 2(ab+bc+ac)> a^2+b^2+c^2\)
Ta có đpcm.
(2): Bài này có nhiều cách giải. Nhưng mình xin đưa ra cách làm thuần túy Cô-si nhất.
Đặt
\((a+b-c, b+c-a, c+a-b)=(x,y,z)\Rightarrow (a,b,c)=(\frac{x+z}{2}; \frac{x+y}{2}; \frac{y+z}{2})\)
Khi đó:
\(\frac{a}{b+c-a}+\frac{b}{a+c-b}+\frac{c}{a+b-c}=\frac{x+z}{2y}+\frac{x+y}{2z}+\frac{y+z}{2x}\)
\(=\frac{x}{2y}+\frac{z}{2y}+\frac{x}{2z}+\frac{y}{2z}+\frac{y}{2x}+\frac{z}{2x}\geq 6\sqrt[6]{\frac{1}{2^6}}=3\) (áp dụng BĐT Cô-si)
Ta có đpcm
Dấu "=" xảy ra khi $x=y=z$ hay $a=b=c$
(c):
Theo BĐT tam giác:
\(b+c>a\Rightarrow 2(b+c)> b+c+a\Rightarrow b+c> \frac{a+b+c}{2}\)
\(\Rightarrow \frac{a}{b+c}< \frac{2a}{a+b+c}\)
Hoàn toàn tương tự với những phân thức còn lại và cộng theo vế:
\(\Rightarrow \frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}< \frac{2a}{a+b+c}+\frac{2b}{a+b+c}+\frac{2c}{a+b+c}=2\)
Ta có đpcm.
Bài 2:
Áp dụng BĐT Cô-si cho các số dương:
\(a^2+b^2+c^2+d^2+ab+cd\geq 6\sqrt[6]{a^2.b^2.c^2.d^2.ab.cd}=6\sqrt[6]{(abcd)^3}=6\sqrt[6]{1^3}=6\)
Ta có đpcm
Dấu "=" xảy ra khi \(\left\{\begin{matrix} a^2=b^2=c^2=d^2=ab=cd\\ abcd=1\end{matrix}\right.\Rightarrow a=b=c=d=1\)
\((\dfrac{1}{\left(b-c\right)\left(a^2+ac-b^2-bc\right)}+\dfrac{1}{\left(c-a\right)\left(b^2+ba-c^2-ca\right)}+\dfrac{1}{\left(a-b\right)\left(c^2+cb-a^2-ab\right)}=0 \)
\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{\left(b-c\right)\left[\left(a-b\right)\left(a+b\right)+c\left(a-b\right)\right]}+\dfrac{1}{\left(c-a\right)\left[\left(b-c\right)\left(b+c\right)+a\left(b-c\right)\right]}+\dfrac{1}{\left(a-b\right)\left[\left(c-a\right)\left(c+a\right)+b\left(c-a\right)\right]}=0\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{\left(b-c\right)\left(a-b\right)\left(a+b+c\right)}+\dfrac{1}{\left(c-a\right)\left(b-c\right)\left(a+b+c\right)}+\dfrac{1}{\left(a-b\right)\left(c-a\right)\left(a+b+c\right)}=0\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{c-a+a-b+b-c}{\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)\left(a+b+c\right)}=0\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{0}{\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)\left(a+b+c\right)}=0\)(t/m)
Suy ra ta được Đt cần chứng minh.
Chúc bạn học tốt với hoc24 nha
Lời giải:
Ta có:
\(\frac{1}{(b-c)(a^2+ac-b^2-bc)}+\frac{1}{(c-a)(b^2+bc-c^2-ca)}+\frac{1}{(a-b)(c^2+cb-a^2-ab)}\)
\(=\frac{1}{(b-c)[(a^2-b^2)+(ac-bc)]}+\frac{1}{(c-a)[(b^2-c^2)+(ba-ca)]}+\frac{1}{(a-b)[(c^2-a^2)+(cb-ab)]}\)
\(=\frac{1}{(b-c)[(a-b)(a+b)+c(a-b)]}+\frac{1}{(c-a)[(b-c)(b+c)+a(b-c)]}+\frac{1}{(a-b)[(c-a)(c+a)+b(c-a)]}\)
\(=\frac{1}{(b-c)(a-b)(a+b+c)}+\frac{1}{(c-a)(b-c)(b+c+a)}+\frac{1}{(a-b)(c-a)(c+a+b)}\)
\(=\frac{(c-a)+(a-b)+(b-c)}{(a-b)(b-c)(c-a)(a+b+c)}=\frac{0}{(a-b)(b-c)(c-a)(a+b+c)}=0\)
Ta có đpcm.
B1:
\(ab+bc+ca\le a^2+b^2+c^2< 2\left(ab+bc+ca\right)\)
Xét hiệu:
\(\Leftrightarrow2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ca\)
\(=\left(a^2-2ab+b^2\right)+\left(b^2-2bc+c^2\right)+\left(a^2-2ac+c^2\right)\)
\(=\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(a-c\right)^2\ge0\)
=> BĐT luôn đúng
*
Ta có:
\(a< b+c\Rightarrow a^2< ab+ac\)
\(b< a+c\Rightarrow b^2< ab+ac\)
\(c< a+b\Rightarrow a^2< ac+bc\)
Cộng từng vế bất đẳng thức ta được:
\(a^2+b^2+c^2< 2\left(ab+bc+ca\right)\)
Vậy: \(ab+bc+ca\le a^2+b^2+c^2< 2\left(ab+bc+ca\right)\)
B2:
Ta có: \(a+b>c\) ; \(b+c>a\); \(a+c>b\)
Xét:\(\dfrac{1}{a+c}+\dfrac{1}{b+c}>\dfrac{1}{a+b+c}+\dfrac{1}{b+c+a}=\dfrac{2}{a+b+c}>\dfrac{2}{a+b+a+b}=\dfrac{1}{a+b}\)
\(\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{a+c}>\dfrac{1}{a+b+c}+\dfrac{1}{a+c+b}=\dfrac{2}{a+b+c}>\dfrac{2}{b+c+b+c}=\dfrac{1}{b+c}\)
\(\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{b+c}>\dfrac{1}{a+b+c}+\dfrac{1}{b+c+a}=\dfrac{2}{a+b+c}>\dfrac{2}{a+c+a+c}=\dfrac{1}{a+c}\)
Suy ra:
\(\dfrac{1}{a+c}+\dfrac{1}{b+c}>\dfrac{1}{a+b}\)
\(\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{a+c}>\dfrac{1}{b+c}\)
\(\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{b+c}>\dfrac{1}{a+c}\)
=> ĐPCM
Nội suy Sửa đề làm cho bạn
Bài 1:
\(a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ac+\dfrac{\left(a-b\right)^2}{26}+\dfrac{\left(b-c\right)^2}{2}+\dfrac{\left(c-a\right)^2}{2009}\)Nhân 2 chuyển Vế
\(2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ac-\left[\dfrac{\left(a-b\right)^2}{13}+\dfrac{\left(b-c\right)^2}{3}+\dfrac{2\left(c-a\right)^2}{2009}\right]\ge0\)Ghép Bình phướng
\(\left(a-b\right)^2+\left(a-c\right)^2+\left(b-c\right)^2-\left[\dfrac{\left(a-b\right)^2}{13}+\dfrac{\left(b-c\right)^2}{3}+\dfrac{2.\left(c-a\right)^2}{2009}\right]\ge0\)Ghép nhân tử
\(\left[\left(a-b\right)^2\left(1-\dfrac{1}{13}\right)+\left(b-c\right)^2\left(1-\dfrac{1}{3}\right)+\left(c-a\right)^2\left(1-\dfrac{2}{2009}\right)\right]\ge0\)
Thu gọn có thể không cần
\(\left[\left(a-b\right)^2\left(\dfrac{12}{13}\right)+\left(b-c\right)^2\left(\dfrac{2}{3}\right)+\left(c-a\right)^2\left(\dfrac{207}{2009}\right)\right]\ge0\)VT là tổng 3 số không âm
Đẳng thức khi a=b=c
=> dpcm
Lời giải:
Vì $a+b+c=1$ nên:
\(a^2+b^2+abc-1=(a+b)^2-2ab+abc-1\)
\(=(a+b)^2-1+ab(c-2)=(1-c)^2-1+ab(c-2)\)
\(=-c(2-c)+ab(c-2)=c(c-2)+ab(c-2)=(c+ab)(c-2)\)
Do đó:
\(\frac{c+ab}{a^2+b^2+abc-1}=\frac{c+ab}{(c+ab)(c-2)}=\frac{1}{c-2}\)
Hoàn toàn tương tự với các phân thức còn lại, suy ra:
\(\frac{c+ab}{a^2+b^2+abc-1}+\frac{a+bc}{b^2+c^2+abc-1}+\frac{b+ac}{a^2+c^2+abc-1}=\frac{1}{c-2}+\frac{1}{a-2}+\frac{1}{b-2}=\frac{(a-2)(b-2)+(b-2)(c-2)+(c-2)(a-2)}{(a-2)(b-2)(c-2)}\)
\(=\frac{ab+bc+ac-4(a+b+c)+12}{(a-2)(b-2)(c-2)}=\frac{ab+bc+ac+8}{(a-2)(b-2)(c-2)}\)
Ta có đpcm.
\(\dfrac{bc}{a}+\dfrac{ca}{b}+\dfrac{ab}{c}=a+b+c\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{abc}{a^2}+\dfrac{abc}{b^2}+\dfrac{abc}{c^2}=a+b+c\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}+\dfrac{1}{c^2}=\dfrac{a+b+c}{abc}=\dfrac{1}{ab}+\dfrac{1}{bc}+\dfrac{1}{ac}\)
\(\Leftrightarrow\left(\dfrac{1}{a}-\dfrac{1}{b}\right)^2+\left(\dfrac{1}{b}-\dfrac{1}{c}\right)^2+\left(\dfrac{1}{c}-\dfrac{1}{a}\right)^2=0\)
\(\Leftrightarrow a=b=c\)
Thay vào A r tính thôi
\(a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca=2\)
Áp dụng BĐT C-S:
\(P\ge\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{3-\left(a^2+b^2+c^2\right)}=\dfrac{a^2+b^2+c^2+4}{3-\left(a^2+b^2+c^2\right)}\)
Đặt \(a^2+b^2+c^2=x\)
Ta cần c/m: \(\dfrac{x+4}{3-x}\ge6\Leftrightarrow x+4\ge18-6x\)
\(\Leftrightarrow x\ge2\) (đúng)
Dấu = xảy ra khi \(a=b=c=\pm\sqrt{\dfrac{2}{3}}\)