Question

[Anh Dao Tuan]

Cho số A=n.(n-1).(n+1).(n²+1) với n \(\in\) N

a) Chứng minh rằng A chia hết cho 10

b) Chứng minh rằng ; Chữ số tận cùng của các số tự nhiên n và n⁵ là như nhau

Answer 1

[Akai Haruma]

Lời giải:

$A=n(n-1)(n+1)(n^2+1)=n(n^2-1)(n^2+1)$

Vì $n^2$ là scp nên $n^2$ có tận cùng là $0,1,4,5,6,9$

Nếu $n^2$ tận cùng là $0$ thì $n$ tận cùng là $0$

$\Rightarrow A=n(n-1)(n+1)(n^2+1)\vdots 10\vdots 5$

Nếu $n^2$ tận cùng là $5$ thì $n$ tận cùng là $5$

$\Rightarrow n\vdots 5\Rightarrow A=n(n-1)(n+1)(n^2+1)\vdots 5$

Nếu $n^2$ tận cùng là $1$ hoặc $6$ thì $n^2-1$ tận cùng là $0$ hoặc $5$

$\Rightarrow n^2-1\vdots 5\Rightarrow A\vdots 5$

Nếu $n^2$ tận cùng là $4$ hoặc $9$ thì $n^2+1$ tận cùng là $5$ hoặc $0$

$\Rightarrow n^2+1\vdots 5\Rightarrow A\vdots 5$

Vậy tóm lại $A\vdots 5$

----------------

Lại có:

$A=n(n^2-1)(n^2+1)=n(n^4-1)$

Nếu $n$ chẵn thì $A=n(n^4-1)\vdots 2$

Nếu $n$ lẻ thì $n^4-1$ chẵn $\Rightarrow A=n(n^4-1)\vdots 2$
Vậy tóm lại $A\vdots 2$

Vậy $A\vdots 2; A\vdots 5\Rightarrow A\vdots 10$

b.

$A=n(n^4-1)=n^5-n\vdots 10$

$\Rightarrow n^5, n$ có cùng chữ số tận cùng.