Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Điều kiện x>0. Nhận thấy x=2 là nghiệm.
Nếu x>2 thì
\(\frac{x}{2}>\frac{x+2}{4}>1\); \(\frac{x+1}{3}>\frac{x+3}{5}>1\)
Suy ra
\(\log_2\frac{x}{2}>\log_2\frac{x+2}{4}>\log_4\frac{x+2}{4}\)hay :\(\log_2x>\log_2\left(x+2\right)\)
\(\log_3\frac{x+1}{3}>\log_3\frac{x+3}{5}>\log_5\frac{x+3}{5}\) hay \(\log_3\left(x+1\right)>\log_5\left(x+3\right)\)
Suy ra vế trái < vế phải, phương trình vô nghiệm.
Đáp số x=2
a) Gọi \(z_1,z_2\) là các nghiệm của phương trình với \(\left|z_1\right|=1\). Từ \(z_2=\frac{c}{a}.\frac{1}{z_1}\) kéo theo \(\left|z_2\right|=\left|\frac{c}{a}\right|.\frac{1}{\left|z_1\right|}=1\)
vì \(z_1+z_2=-\frac{b}{a},\left|a\right|=\left|b\right|\), ta có \(\left|z_1+z_2\right|^2=1\)
Hệ thức tương đương với
\(\left(z_1+z_2\right)\left(\overline{z_1}+\overline{z_2}\right)=1\) tức là \(\left(z_1+z_2\right)\left(\frac{1}{z_1}+\frac{1}{z_2}\right)=1\)
\(\left(z_1+z_2\right)^2=z_1z_2\)
hay \(\left(-\frac{b}{a}\right)^2=\frac{c}{a}\Rightarrow b^2=ac\)
b) Theo câu a) \(b^2=ac,c^2=ab\). Nhân các hệ thức được \(b^2c^2=a^2bc\Rightarrow a^2=bc\)
Do đó \(a^2+b^2+c^2=ab+bc+ca\)
Hệ tương đương với :
\(\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2=0\)
Tức là
\(\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+2\left(a-b\right)\left(b-c\right)+\left(c-a\right)^2=2\left(a-b\right)\left(b-c\right)\)
Kéo theo
\(\left(a-c\right)^2=\left(a-b\right)\left(b-c\right)\)
Lấy giá trị tuyệt đối, được \(\beta^2=\gamma\alpha\)
Ở đây \(\alpha=\left|b-c\right|,\beta=\left|c-a\right|,\gamma=\left|a-b\right|\)
Tương tự được :
\(\alpha^2=\beta\gamma,\gamma^2=\alpha\beta,\)
Cộng các hệ thức, được :
\(\alpha^2+\beta^2+\gamma^2=\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha\)
Tức là (\(\left(\alpha-\beta\right)^2+\left(\beta-\gamma\right)^2+\left(\gamma-\beta\right)^2=0\)
Do đó : \(\beta=\alpha=\gamma\)
Ta có:
f(x) = ax2 – 2(a + 1)x + a + 2 = (x – 1)(ax – a- 2) nên phương trình f(x) = 0 luôn có hai nghiệm thực là:
x = 1, x=a+2ax=a+2a
Theo định lí Vi-et, tổng và tích của các nghiệm đó là:
S=2a+2a,P=a+2aS=2a+2a,P=a+2a
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số S=2a+2a=2+2aS=2a+2a=2+2a
- Tập xác định : (-∞, 0)∪ (0, +∞)
- Sự biến thiên: S′=−2a2<0,∀a∈(−∞,0)∪(0,+∞)S′=−2a2<0,∀a∈(−∞,0)∪(0,+∞) nên hàm số nghịch biến trên hai khoảng (-∞, 0) và (0, +∞)
- Cực trị: Hàm số không có cực trị
- Giới hạn tại vô cực và tiệm cận ngang
lima→+∞S=lima→+∞(2+2a)=2lima→−∞S=lima→−∞(2+2a)=2lima→+∞S=lima→+∞(2+2a)=2lima→−∞S=lima→−∞(2+2a)=2
Vậy S = 2 là tiệm cận ngang
- Giới hạn vô cực và tiệm cận đứng:
lima→0+S=lima→0+(2+2a)=+∞lima→0−S=lima→0−(2+2a)=−∞lima→0+S=lima→0+(2+2a)=+∞lima→0−S=lima→0−(2+2a)=−∞
Vậy a = 0 là tiệm cận đứng.
- Bảng biến thiên:
Đồ thị hàm số:
Đồ thị không cắt trục tung, cắt trục hoành tại a = -1
2) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số P=a+2a=1+2aP=a+2a=1+2a
Tập xác định: D = R\{0}
S′=−2a2<0,∀a∈DS′=−2a2<0,∀a∈D
lima→0−S=−∞lima→0−S=−∞⇒ Tiệm cận đứng: a = 0
lima→±∞S=1lima→±∞S=1⇒ Tiệm cận ngang: S = 1
Đồ thị hàm số:
Ngoài ra: đồ thị hàm số P=a+2a=1+2aP=a+2a=1+2a có thể nhận được bằng cách tịnh tiến đồ thị S=2a+2a=2+2aS=2a+2a=2+2a dọc theo trục tung xuống phía dưới 1 đơn vị.
14.
\(log_aa^2b^4=log_aa^2+log_ab^4=2+4log_ab=2+4p\)
15.
\(\frac{1}{2}log_ab+\frac{1}{2}log_ba=1\)
\(\Leftrightarrow log_ab+\frac{1}{log_ab}=2\)
\(\Leftrightarrow log_a^2b-2log_ab+1=0\)
\(\Leftrightarrow\left(log_ab-1\right)^2=0\)
\(\Rightarrow log_ab=1\Rightarrow a=b\)
16.
\(2^a=3\Rightarrow log_32^a=1\Rightarrow log_32=\frac{1}{a}\)
\(log_3\sqrt[3]{16}=log_32^{\frac{4}{3}}=\frac{4}{3}log_32=\frac{4}{3a}\)
11.
\(\Leftrightarrow1>\left(2+\sqrt{3}\right)^x\left(2+\sqrt{3}\right)^{x+2}\)
\(\Leftrightarrow\left(2+\sqrt{3}\right)^{2x+2}< 1\)
\(\Leftrightarrow2x+2< 0\Rightarrow x< -1\)
\(\Rightarrow\) có \(-2+2020+1=2019\) nghiệm
12.
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x-2>0\\0< log_3\left(x-2\right)< 1\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x>2\\1< x-2< 3\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow3< x< 5\Rightarrow b-a=2\)
13.
\(4^x=t>0\Rightarrow t^2-5t+4\ge0\)
\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}t\le1\\t\ge4\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}4^x\le1\\4^x\ge4\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x\le0\\x\ge1\end{matrix}\right.\)
Điều kiện :
\(\begin{cases}x-2>0\\3x-5>0\end{cases}\) \(\Leftrightarrow x>2\)
Phương trình tương đương \(\log_2\left(x-2\right)+\log_2\left(3x-5\right)=2\)
\(\Leftrightarrow\log_2\left[\left(x-2\right)\left(3x-5\right)\right]=2\Leftrightarrow3x^2-11x+6=0\)
Giải phương trình trên và đối chiếu với điều kiện ta được nghiệm phương trình đã cho là x=3
Điều kiện x>1
Từ (1) ta có \(\log_{\sqrt{3}}\frac{x+1}{x-1}>\log_34\) \(\Leftrightarrow\frac{x+1}{x-1}>2\) \(\Leftrightarrow\) 1<x<3
Đặt \(t=\log_2\left(x^2-2x+5\right)\)
Tìm điều kiện của t :
- Xét hàm số \(f\left(x\right)=\log_2\left(x^2-2x+5\right)\) với mọi x thuộc (1;3)
- Đạo hàm : \(f\left(x\right)=\frac{2x-2}{\ln2\left(x^2-2x+5\right)}>\) mọi \(x\in\left(1,3\right)\)
Hàm số đồng biến nên ta có \(f\left(1\right)\) <\(f\left(x\right)\) <\(f\left(3\right)\) \(\Leftrightarrow\)2<2<3
- Ta có \(x^2-2x+5=2'\)
\(\Leftrightarrow\) \(\left(x-1\right)^2=2'-4\)
Suy ra ứng với mõi giá trị \(t\in\left(2,3\right)\) ta luôn có 1 giá trị \(x\in\left(1,3\right)\)
Lúc đó (2) suy ra : \(t-\frac{m}{t}=5\Leftrightarrow t^2-5t=m\)
Xét hàm số : \(f\left(t\right)=t^2-5t\) với mọi \(t\in\left(2,3\right)\)
- Đạo hàm : \(f'\left(t\right)=2t-5=0\Leftrightarrow t=\frac{5}{2}\)
- Bảng biến thiên :
| x | 2 \(\frac{5}{2}\) 3 |
| y' | + 0 - |
| y | -6 -6 -\(\frac{25}{4}\) |
Để hệ có 2 cặp nghiệm phân biệt \(\Leftrightarrow-6>-m>-\frac{25}{4}\)\(\Leftrightarrow\)\(\frac{25}{4}\) <m<6