Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Ta có: \(x=\frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}=4-\sqrt{15}\)
Vì \(x=\frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}\)là nghiệm của phương trình \(ax^2+bx+1=0\)nên:
\(a\left(4-\sqrt{15}\right)^2+b\left(4-\sqrt{15}\right)+1=0\)
\(\Leftrightarrow a\left(31-8\sqrt{15}\right)+4b-\sqrt{15}b+1=0\)
\(\Leftrightarrow31a-8\sqrt{15}a+4b-\sqrt{15}b+1=0\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{15}\left(8a+b\right)=31a+4b+1\)
Do a b, là các số hữu tỉ nên \(31a+4b+1\)và \(8a+b\) là các số hữu tỉ
\(\Rightarrow\sqrt{15}\left(8a+b\right)\)là số hữu tỉ
Do đó \(\hept{\begin{cases}8a+b=0\\31a+4b+1=0\end{cases}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}a=1\\b=-8\end{cases}}\)
Vậy a = 1; b = -8
4. \(\sqrt{x}+\sqrt{y}=6\sqrt{55}\)
\(6\sqrt{55}\) là số vô tỉ, suy ra vế trái phải là các căn thức đồng dạng chứa \(\sqrt{55}\)
Đặt \(\sqrt{x}=a\sqrt{55};\sqrt{y}=b\sqrt{55}\) với \(a,b\in N\)
\(\Rightarrow a+b=6\)
Xét các TH:
a = 0 => b = 6
a = 1 => b = 5
a = 2 => b = 4
a = 3 => b = 3
a = 4 => b = 2
a = 5 => b = 1
a = 6 => b = 0
Từ đó dễ dàng tìm đc x, y
ta có \(3x=1-\sqrt[3]{\frac{25+\sqrt{621}}{2}}-\sqrt[3]{\frac{25-\sqrt{621}}{2}}\)
<=> \(1-3x=\sqrt[3]{\frac{25+\sqrt{621}}{2}}+\sqrt[3]{\frac{25-\sqrt{621}}{2}}\)
<=> \(\left(1-3x\right)^3=\left(\sqrt[3]{\frac{25+\sqrt{621}}{2}}+\sqrt[3]{\frac{25-\sqrt{621}}{2}}\right)^3\)
<=> \(1-9x+27x^2-27x^3=\frac{25+\sqrt{621}}{2}+\frac{25-\sqrt{621}}{2}+3\left(\frac{25+\sqrt{621}}{2}\cdot\frac{25-\sqrt{621}}{2}\right)\left(1-3x\right)\)( vì \(\sqrt[3]{\frac{25+\sqrt{621}}{2}}+\sqrt[3]{\frac{25-\sqrt{621}}{2}}=1-3x\)....phía trên 2 dòng )
<=> \(1-9x+27x^2-27x^3=25+3\cdot1\cdot\left(1-3x\right)\)
<=> \(1-9x+27x^2-27x^3=25+3-9x\)
<=> \(1-9x+27x^2-27x^3=28-9x\)
<=> \(27x^3-27x^2+27=0\)
<=.\(27\left(x^3-x^2+1\right)=0\)
<=. \(x^3-x^2+1=0\)
pt \(x^3-x^2+1=0\) và pt \(x^5+x+1=0\) đều có nghiệm chung
vậy đccm
ta có \(\sqrt{\left(x-1\right)\left(x-5\right)}-3\sqrt{1-x}=0\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{\left(1-x\right)\left(5-x\right)}-3\sqrt{1-x}=0\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{1-x}\left(\sqrt{5-x}-3\right)=0\)
mà x<1=>x khác 1=>\(\sqrt{5-x}-3=0\)
\(\Rightarrow x=-4\)=> \(a^2+a=12\)
HD :
Thay nghiệm x = (√5 - √3)/(√5 + √3) = 4 - √15 vào pt khai triển và thu gọn ta có:
31p + 4q + 1 = (8p + q).√15 (*)
Vì p, q hữu tỉ nên VT của (*) hữu tỉ còn VP vô tỉ.
Do đó muốn (*) nghiệm đúng thì ta phải có đồng thời:
{ 31p + 4q + 1 = 0
{ 8p + q = 0
Dễ dàng giải hệ này có p = 1; q = - 8
=> p + q = - 7