Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(\Leftrightarrow2m.2^x+\left(2m+1\right)\left(3-\sqrt{5}\right)^x+\left(3+\sqrt{5}\right)^x=0\)
\(\Leftrightarrow\left(\frac{3+\sqrt{5}}{2}\right)^x+\left(2m+1\right)\left(\frac{3-\sqrt{5}}{2}\right)^x+2m< 0\)
Đặt \(t=\left(\frac{3+\sqrt{5}}{2}\right)^x,0< t\le1\Rightarrow\frac{1}{t}=\left(\frac{3-\sqrt{5}}{2}\right)^x\)
Phương trình trở thành :
\(t+\left(2m+1\right)\frac{1}{t}+2m=0\) (*)
a. Khi \(m=-\frac{1}{2}\) ta có \(t=1\) suy ra \(\left(\frac{3+\sqrt{5}}{2}\right)^x=1\Leftrightarrow x=0\)
Vậy phương trình có nghiệm là \(x=0\)
b. Phương trình (*) \(\Leftrightarrow t^2+1=-2m\left(t+1\right)\Leftrightarrow\frac{t^2+1}{t+1}=-2m\)
Xét hàm số \(f\left(t\right)=\frac{t^2+1}{t+1};t\in\)(0;1]
Ta có : \(f'\left(t\right)=\frac{t^2+2t+1}{\left(t+1\right)^2}\Rightarrow f'\left(t\right)=0\Leftrightarrow=-1+\sqrt{2}\)
t f'(t) f(t) 0 1 0 - + 1 1 -1 + căn 2 2 căn 2 - 2
Suy ra phương trình đã cho có nghiệm đúng
\(\Leftrightarrow2\sqrt{2}-2\le-2m\le1\Leftrightarrow\sqrt{2}-1\ge m\ge-\frac{1}{2}\)
Vậy \(m\in\left[-\frac{1}{2};\sqrt{2}-1\right]\) là giá trị cần tìm
\(\sqrt{1+x}+\sqrt{8-x}+\sqrt{\left(1+x\right)\left(8-x\right)}=a\) (1)
Điều kiện :
\(\begin{cases}1+x\ge0\\8-x\ge0\\\left(1+x\right)\left(8-x\right)\ge0\end{cases}\) \(\Leftrightarrow\) \(\begin{cases}x\ge-1\\x\le8\\-1\le x\le8\end{cases}\) \(\Leftrightarrow\) \(x\in\left[-1;8\right]\) : = (*)
Đặt \(t=\sqrt{1+x}+\sqrt{8-x}\) với điều kiện \(x\in\) (*) ta có
\(\begin{cases}t\ge0\\t^2=1+x+8-x+2\sqrt{\left(1+x\right)\left(8-x\right)}\end{cases}\)
\(\Rightarrow\) \(\begin{cases}t\ge0\\9\le t^2\le9+\left(1+x+8-x\right)=18\end{cases}\)
\(\Rightarrow\) \(t\in\left[3;3\sqrt{2}\right]\) : = (*1)
Ngoài ra, từ đó còn có \(\sqrt{\left(1+x\right)\left(8-x\right)}=\frac{t^2-9}{2}\)
Phương trình (1) trở thành
\(f\left(t\right)=\frac{1}{2}\left(t^2+2t-9\right)=a\) (2)
1) Với a=3 ta có :
(2) \(\Leftrightarrow\) \(t^2+2t-15=0\) \(\Leftrightarrow\) \(\begin{cases}t=3\\t=-5\end{cases}\)
Trong 2 nghiệm trên, chỉ có t =3 thuộc (*1) nên với a=3 ta có
(1) \(\Leftrightarrow\) \(\sqrt{\left(1+x\right)\left(8-x\right)}=\frac{3^2-9}{2}=0\) \(\Leftrightarrow\) \(\begin{cases}x=-1\\x=8\end{cases}\)
Hai nghiệm này cùng thuộc (*) như vậy khi a=3, phương trình đã cho có 2 nghiệm x=-1 và x=8
2)Nhận thấy phương trình (1) có nghiệm \(x\in\) (*) khi và chỉ khi phương trình (2)
có nghiệm t\(\in\) (*1) hay là khi và chỉ khi đường thẳng y=a (vuông góc với y'Oy) có điểm ching với phần đồ thị hàm số y=f(t) vẽ trên ( *1).
Lập bảng biến thiên của hàm số y = f(t) trên (*1) với nhận xét rằng f'(t) = t+1>0, mọi t \(x\in\) (*)
| t | \(-\infty\) 3 \(3\sqrt{2}\) \(+\infty\) |
| f'(t) | + |
| f (t) | \(\frac{9+6\sqrt{2}}{2}\) 3 |
Từ nhận xét trên và từ bảng biến thiên, ta được \(3\le a\le\frac{9+6\sqrt{2}}{2}\) là giá trị cần tìm
a.
ĐKXĐ: \(-4\le x\le2\)
Đặt \(\sqrt{-x^2-2x+8}=t\ge0\)
Do \(\sqrt{-x^2-2x+8}=\sqrt{-\left(x+1\right)^2+9}\le\sqrt{9}=3\)
\(\Rightarrow0\le t\le3\)
Khi đó pt trở thành:
\(8-t^2-4t-m=0\)
\(\Leftrightarrow m=-t^2-4t+8\) (1)
Xét hàm \(f\left(t\right)=-t^2-4t+8\) trên \(\left[0;3\right]\)
\(-\frac{b}{2a}=-2\notin\left[0;3\right]\) ; \(f\left(0\right)=8\) ; \(f\left(3\right)=-13\)
\(\Rightarrow-13\le f\left(t\right)\le8\) ; \(\forall t\in\left[0;3\right]\)
\(\Rightarrow\left(1\right)\) có nghiệm khi và chỉ khi \(-13\le m\le8\)
b.
ĐKXĐ: \(-3\le x\le1\)
Đặt \(\sqrt{x+3}+\sqrt{1-x}=t\)
\(\Rightarrow t^2=4+2\sqrt{-x^2-2x+3}\Rightarrow-\sqrt{-x^2-2x+3}=\frac{4-t^2}{2}\)
Ta có:
\(\sqrt{x+3}+\sqrt{1-x}\ge\sqrt{x+3+1-x}=2\Rightarrow t\ge2\)
\(\sqrt{x+3}+\sqrt{1-x}\le\sqrt{2\left(x+3+1-x\right)}=2\sqrt{2}\)
\(\Rightarrow2\le t\le2\sqrt{2}\)
Pt đã cho trở thành:
\(2t+\frac{4-t^2}{2}+m-3=0\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{2}t^2-2t+1=m\) (1)
Xét hàm \(f\left(t\right)=\frac{1}{2}t^2-2t+1\) trên \(\left[2;2\sqrt{2}\right]\)
\(-\frac{b}{2a}=2\in\left[2;2\sqrt{2}\right]\) ; \(f\left(2\right)=-1\) ; \(f\left(2\sqrt{2}\right)=5-4\sqrt{2}\)
\(\Rightarrow-1\le f\left(t\right)\le5-4\sqrt{2}\) ; \(\forall t\in\left[2;2\sqrt{2}\right]\)
\(\Leftrightarrow\left(1\right)\) có nghiệm khi và chỉ khi \(-1\le m\le5-4\sqrt{2}\)
Từ (2) suy ra \(\begin{cases}2-y\ge0\\x=\frac{y^2-4y+4}{y}\end{cases}\)
Lúc đó (1) có \(\frac{y^2-4y+4}{y}-y+m=0\Leftrightarrow m=\frac{4y-4}{y}\Leftrightarrow g\left(m\right)=f\left(y\right)\)
Xét hàm số \(f\left(y\right)=\frac{4y-4}{y}\)
- Miền xác định \(D=\left(-\infty;2\right)\)/\(\left\{0\right\}\)
- Đạo hàm \(f'\left(y\right)=\frac{4}{y^2}>0\) Hàm số đồng biến trên D
- Giới hạn
\(\lim\limits_{y\rightarrow-\infty}f\left(y\right)=4\)
\(\lim\limits_{y\rightarrow0^+}f\left(y\right)=-\infty\)
\(\lim\limits_{y\rightarrow0^-}f\left(y\right)=+\infty\)
Bảng biến thiên
| x | -\(\infty\) 0 2 |
| y' | + // + |
| y | 4 +\(\infty\) // -\(\infty\) 2 |
Vậy để hệ có nghiệm : \(m\in\left(-\infty;2\right)\cup\left(4,+\infty\right)\)