Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Kẻ\(AK\perp AM\left(K\in OC\right)\)
\(AH\perp DC\left(H\in DC\right)\)
Áp dụng hệ thức giữa cạnh và đường cao và tam giác vuông AKN , đường cao AH , ta có
\(\dfrac{1}{AK^2}+\dfrac{1}{AN^2}=\dfrac{1}{AH^2}\left(1\right)\)
Xét \(\Delta AMB\)và\(\Delta ADK\)có:
\(\left\{{}\begin{matrix}AD=AB\\\widehat{B}=\widehat{D}\\\widehat{DAK}=\widehat{MAB}\end{matrix}\right.\)
=> \(\Delta AMB=\Delta AKD\)
=> AM=AK ( 2 cạnh tương ứng)(2)
Áp dụng định lý py-ta-go , ta có :
\(HD^2+AH^2=AD^2\)
=>\(AH^2=AD^2-HD^2\)(3)
\(\Delta ADH\perp H\)có :\(\widehat{ADH}+\widehat{DAH}=90^o\)
=> \(\widehat{ADH}=90^o-60^o\)(Vì ABCD là h.thoi có góc DAB=120 độ => góc DAH=60 độ)
=>\(\widehat{ADH}=30^o\)
=>\(DH=\dfrac{1}{2}AD\)(4)
Thay (4) vào (3) , ta có : \(AH^2=AD^2-\left(\dfrac{1}{2}.AD\right)^2\)
=\(\dfrac{3}{4}.AD^2\)
=\(\dfrac{3}{4}.AB^2\)(vì AB=AD)
Thay (2) vào (5) , ta có :
\(\dfrac{1}{AM^2}+\dfrac{1}{AN^2}=\dfrac{4}{3AB^2}\)
<=> \(\dfrac{3}{AM^2}+\dfrac{3}{AN^2}=\dfrac{4}{AB^2}\)
a) Ta có AB,AC là 2 tiếp tuyến của đường tròn (O;R)\(\Rightarrow AB=AC\Rightarrow\)△ABC cân tại A
b) Ta có AB,AC là 2 tiếp tuyến của đường tròn (O;R)\(\Rightarrow\widehat{FAB}=\widehat{FAC}\Rightarrow\)AF là đường phân giác của △ABC
Lại có △ABC cân tại A
Suy ra AF là đường cao của △ABC\(\Rightarrow\)\(\widehat{BFA}=90^0\) hay BF⊥AO
Ta có △ABO vuông tại B đường cao BF\(\Rightarrow BF^2=AF.FO\Rightarrow\dfrac{AF}{BF}=\dfrac{BF}{FO}\Rightarrow\dfrac{AF^2}{BF^2}=\dfrac{AF}{AO}\left(1\right)\)
Ta có \(\widehat{ABF}=90^0-\widehat{FBO}=\widehat{FOB}\)
Lại có \(\widehat{OFB}=\widehat{AFB}=90^0\)
Suy ra △BAF\(\sim\)△OBF (g-g)\(\Rightarrow\dfrac{AB}{OB}=\dfrac{AF}{BF}\Rightarrow\left(\dfrac{AB}{OB}\right)^2=\left(\dfrac{AF}{BF}\right)^2\Rightarrow\dfrac{AB^2}{OB^2}=\dfrac{AF^2}{BF^2}\left(2\right)\)
Từ (1),(2)\(\Rightarrow\dfrac{AB^2}{OB^2}=\dfrac{AF}{FO}\)
Ta có \(\widehat{COD}=90^0-\widehat{OAC}=90^0-\widehat{OAB}=90^0-\widehat{DAH}=\widehat{ADH}=\widehat{CDO}\)(đối đỉnh) hay \(\widehat{COD}=\widehat{CDO}\Rightarrow\)△COD cân tại C⇒CO=CD
Lời giải:
Do $ABCD$ là hình thoi nên:
\(\widehat{D_1}=\widehat{B_1}=180^0-\widehat{BAD}=30^0\) (2 góc trong cùng phía )
\(\widehat{F_1}=\widehat{BAE}=30^0\) (so le trong với \(AB\parallel CD\))
Do đó: \(\widehat{D_1}=\widehat{F_1}\Rightarrow \triangle ADF\) cân tại $A$, suy ra $AF=AD=a(1)$
Kẻ $AH$ vuông góc với $BC$
Ta có: \(\frac{AH}{AB}=\sin \widehat{ABH}=\sin \widehat{B_1}=\sin 30^0=\frac{1}{2}\)
\(\Rightarrow AH=\frac{AB}{2}=\frac{a}{2}\)
\(\widehat{AEH}=\widehat{EAB}+\widehat{B_1}=30^0+30^0=60^0\)
\(\Rightarrow \frac{AH}{AE}=\sin \widehat{AEH}=\sin 60^0=\frac{\sqrt{3}}{2}\)
\(\Rightarrow AE=\frac{2AH}{\sqrt{3}}=\frac{a}{\sqrt{3}}(2)\)
Từ (1);(2) suy ra \(\frac{1}{AE^2}+\frac{1}{AF^2}=\frac{1}{\frac{a^2}{3}}+\frac{1}{a^2}=\frac{4}{a^2}\) (đpcm)
Chọn C