NA
Nguyễn Anh Tuấn
16 tháng 5 2021
Q
C
O
I
1) Xét nửa đường tròn
(
O
;
R
)
ta có:
ˆ
A
M
B
=
90
∘
(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
⇒
ˆ
B
M
Q
=
90
∘
hay
ˆ
N
M
Q
=
90
∘
ˆ
A
P
D
=
90
∘
(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
⇒
ˆ
A
P
Q
=
90
∘
hay
ˆ
N
P
Q
=
90
∘
Xét tứ giác
M
N
P
Q
ta có:
ˆ
N
M
Q
=
90
∘
;
ˆ
N
P
Q
=
90
∘
⇒
ˆ
N
M
Q
+
ˆ
N
P
Q
=
90
∘
+
90
∘
=
180
∘
Mà
ˆ
N
M
Q
;
ˆ
N
P
Q
là hai góc ở vị trí đối nhau
Suy ra, tứ giác
M
N
P
Q
nội tiếp đường tròn
Vậy, 4 điểm
M
,
N
,
P
,
Q
cùng thuộc một đường tròn.
2) Xét tứ giác
M
N
P
Q
nội tiếp đường tròn ta có:
ˆ
M
Q
N
=
ˆ
N
P
M
( góc nội tiếp cùng chắn cung
M
N
)
Hay
ˆ
M
Q
N
=
ˆ
A
P
M
Mà
ˆ
A
P
M
=
ˆ
A
B
M
(Góc nội tiếp cùng chắn cung
A
M
trong
(
O
)
)
⇒
ˆ
M
Q
N
=
ˆ
A
B
M
Xét tam giác
Δ
M
A
B
và
Δ
M
N
Q
ta có:
ˆ
A
B
M
=
ˆ
N
M
Q
=
90
∘
ˆ
M
Q
N
=
ˆ
A
B
M
(
cmt
)
⇒
Δ
M
A
B
∼
Δ
M
N
Q
(g.g)
3) Gọi
I
là trung điểm của
Q
N
Xét
Δ
M
N
Q
vuông tại
M
⇒
N
I
=
I
Q
=
1
2
Q
N
Suy ra,
I
là tâm đường tròn ngoại tiếp
Δ
M
N
Q
Xét
(
O
)
, ta có:
O
M
=
O
B
=
R
⇒
Δ
M
O
B
cân tại
O
⇒
ˆ
O
M
B
=
ˆ
O
B
M
Xét
(
I
)
, ta có:
M
I
=
I
N
⇒
Δ
M
I
N
cân tại
I
⇒
ˆ
I
M
N
=
ˆ
I
N
M
ˆ
I
M
O
=
ˆ
I
M
N
+
ˆ
N
M
O
=
ˆ
I
M
N
+
ˆ
M
B
O
=
ˆ
I
M
N
+
ˆ
M
B
A
=
ˆ
I
N
M
+
ˆ
M
Q
N
=
90
∘
Hay
M
I
⊥
M
O
Vậy
M
O
là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác
M
N
Q
tại
M
.
4) Vì tứ giác
A
N
B
C
là hình bình hành nên
A
N
/
/
B
C
mà
A
N
⊥
B
Q
⇒
C
B
⊥
B
Q
hay
ˆ
C
B
Q
=
90
∘
A
C
/
/
B
N
mà
B
N
⊥
A
Q
⇒
A
C
⊥
A
Q
hay
ˆ
C
A
Q
=
90
∘
Xét tứ giác
A
Q
B
C
ta có :
ˆ
C
B
Q
+
ˆ
C
A
Q
=
90
∘
+
90
∘
=
180
∘
Mà
ˆ
C
B
Q
;
ˆ
C
A
Q
ở hai vị trí đối nhau
Suy ra, tứ giác
A
Q
B
C
nội tiếp một đường tròn
⇒
ˆ
Q
C
B
=
ˆ
Q
A
B
(góc nội tiếp cùng chắn cung
Q
B
)
Mà
ˆ
Q
A
B
=
ˆ
M
N
Q
=
ˆ
Q
P
M
⇒
ˆ
Q
P
M
=
ˆ
Q
C
B
Xét tam giác
Q
C
B
vuông tại
B
ta có:
sin
ˆ
Q
C
B
=
Q
B
Q
C
(tỉ số lượng giác của góc nhọn)
⇒
Q
B
=
Q
C
.
sin
ˆ
Q
C
B
=
Q
C
.
sin
ˆ
Q
P
M
(đpcm)
Đúng(1)