Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Ta có: \(x^2-y^2=100.110^{2n}\)
<=> \(\left(x-y\right)\left(x+y\right)=\left(10\right)^2.11^{2n}.10^{2n}\)là số chẵn
=> x - y; x + y cùng chẵn
Đặt: 2a = x - y; 2b = x + y (b>a >0)
Khi đó: \(2a.2b=5^{2n+2}.11^{2n}.2^{2n+2}\)
<=> \(ab=5^{2n+2}.11^{2n}.2^{2n}\)
=> a là ước nguyên dương của \(5^{2n+2}.11^{2n}.2^{2n}\)
=> a có dạng \(a=5^s.11^t.2^r\) với: \(0\le s\le2n+2;0\le t\le2n;0\le r\le2n\)
Ta có: s có 2n + 3 cách chọn; t có 2n +1 cách chọn; r có 2n + 1 cách chọn
Vì s, t, r độc lập nên a có: (2n + 3)(2n + 1)( 2n +1 ) cách chọn.
Với mỗi cách chọn a có một cách chọn b => có: \(\left(2n+3\right)\left(2n+1\right)^2\) ngiệm (a;b)
Tuy nhiên chú ý: b > a> 0 và trong các cặp nghiệm (a; b ) trên có một cặp nghiệm thỏa mãn a = b.
Nên số nghiệm (a;b) thỏa mãn b> a> 0 là \(\frac{\left(2n+3\right)\left(2n+1\right)^2-1}{2}\)
Và với mỗi nghiệm (a;b) thỏa mãn đk : b > a> 0 thì có 1 cặp nghiệm (x;y)
=> Số nghiệm nguyên của phương trình ban đầu là: \(\frac{\left(2n+3\right)\left(2n+1\right)^2-1}{2}=\frac{\left(2n+2\right)\left(2n+1\right)^2+\left(2n+1\right)^2-1}{2}\)
\(=\left(n+1\right)\left(2n+1\right)^2+2n\left(n+1\right)=\left(n+1\right)\left(4n^2+6n+1\right)\)(1) ( với n nguyên dương )
Nhận xét: \(\left(4n^2+6n+1;n+1\right)=1\)(2)
Chứng minh: Thật vậy: Đặt: \(\left(4n^2+6n+1;n+1\right)=d\)
Khi đó: \(4n^2+6n+1-4\left(n+1\right)^2⋮d\)
=> \(-2n-3⋮d\)
=> \(\left(-2n-3\right)+2\left(n+1\right)⋮d\)
=> \(-1⋮d\)
=> d = 1
Từ (1); (2) số nghiệm nguyên (x; y) là số chính phương <=> \(4n^2+6n+1\)và n +1 đồng thời là hai số chính phương với mọi n nguyên dương
Mà:
\(4n^2+4n+1< 4n^2+6n+1< 4n^2+8n+4\)với mọi số nguyên dương n
=> \(\left(2n+1\right)^2< 4n^2+6n+1< \left(2n+2\right)^2\)
=> \(4n^2+6n+1\)không là số chính phương
Vậy nên số ngiệm phương trình không phải là số chính phương.
n6 - n4 + 2n3 + 2n2
= n2 . (n4 - n2 + 2n +2)
= n2 . [n2(n - 1)(n + 1) + 2(n + 1)]
= n2 . [(n + 1)(n3 - n2 + 2)]
= n2 . (n + 1) . [(n3 + 1) - (n2 - 1)]
= n2. (n + 1)2 . (n2 - 2n + 2)
Với n ∈ N, n > 1 thì n2 - 2n + 2 = (n - 1)2 + 1 > (n - 1)2
Và n2 - 2n + 2 = n2 - 2(n - 1) < n2
Vậy (n - 1)2 < n2 - 2n + 2 < n2
=> n2 - 2n + 2 không phải là một số chính phương.
ĐỀ SAI NHÉ,PHẢI LÀ (M,N)=1 THÔI
Dễ dàng CM được tính chất sau: 1 số chính phương chia hết cho số nguyên tố p thì chia hết cho \(p^2\)
Quay lại với bài này:
Đặt: \(\hept{\begin{cases}m=p_1.p_2...p_i\\n=q_1.q_2...q_j\end{cases}},p_k,q_l\)là các số nguyên tố và do (m,n)=1 => \(p_k\)bất kỳ khác \(q_l\)
Áp dụng trực tiếp tính chất trên ta => m,n là số chính phương
\(A=n^6-n^4+2n^3+2n^2\)
\(=n^2\left(n^4-n^2+2n+2\right)=n^2[n^2\left(n^2-1\right)+2\left(n+1\right)]\)
\(=n^2\left[\left(n+1\right)\left(n^3-n+2\right)\right]=n^2\left(n+1\right)\left[\left(n^3+1\right)-\left(n^2-1\right)\right]\)
\(=n^2\left(n+1\right)\left(n+1\right)\left(n^2-2n+2\right)=n^2\left(n+1\right)^2\left(n^2-2n+2\right)\)
Xét \(n^2-2n+2\)
Ta có: \(n^2-2n+2=n^2-2n+1+1=\left(n-1\right)^2+1>\left(n-1\right)^2\)
Lại có: \(n^2-2n+2=n^2-\left(2n-2\right)< n^2\)
\(\Rightarrow\left(n-1\right)^2< n^2-2n+2< n^2\)
Mà \(\left(n-1\right)^2;n^2\)là hai số chính phương liên tiếp.
\(\Rightarrow n^2-2n+2\)không thể là số chính phương.
\(\Rightarrow n^2\left(n+1\right)^2\left(n^2-2n+2\right)\)không thể là số chính phương.
Vậy A không là số chính phương.