Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
bạn tự hình nha
đẳng thức cần chứng minh tương đương
\(1=\dfrac{AB^2}{AM^2}+\dfrac{AB^2}{AN^2}\left(@\right)\)
vậy để c/m bài toán ta cần c/m (@) ta có
\(\dfrac{AB}{AM}=\dfrac{CN}{MN}\left(thales\right)\Rightarrow\dfrac{AB^2}{AM^2}=\dfrac{CN^2}{MN^2}\left(1\right)\)
và AB=AD nên
\(\dfrac{AB}{AN}=\dfrac{AD}{AN}=\dfrac{CM}{MN}\left(thales\right)\Rightarrow\dfrac{AB^2}{AN^2}=\dfrac{CM^2}{MN^2}\left(2\right)\)
áp dụng định lí pythagore cho tam giác MCN vg tại C
\(CM^2+CN^2=MN^2\)
cộng 2 vế của (1) và (2) ta có
\(\dfrac{AB^2}{AM^2}+\dfrac{AB^2}{AN^2}=\dfrac{CN^2}{MN^2}+\dfrac{CM^2}{MN^2}=\dfrac{CM^2+CN^2}{MN^2}=\dfrac{MN^2}{MN^2}=1\left(\left(@\right)lđ\right)\)
vậy bài toán đc c/m
nếu có j thắc mắc ib mình giải thích cho
Goi giao diem cua tia AE va DN la G
a.Ta co:\(\widehat{G}=\widehat{AME}\)(cung phu \(\widehat{GEC}\))(1)
\(\widehat{G}+\widehat{ANG}=90^0\)
\(\widehat{AME}+\widehat{AEM}=90^0\)
\(\Rightarrow\widehat{ANG}=\widehat{AEM}\) (2)
Tu (1) va (2) suy ra:\(\Delta AGN=\Delta AME\left(g-g-g\right)\)
Suy ra:\(AN=AE\)(2 canh tuong ung)
b,Ta co:\(\frac{1}{AB^2}=\frac{1}{AM^2}+\frac{1}{AE^2}\)
\(\Rightarrow\frac{1}{AM^2}=\frac{1}{AM^2}+\frac{1}{AN^2}\left(AE=AN\right)\)
a) + ΔABM = ΔADN ( g.c.g )
=> AM = AN
b) + ΔANI vuông tại A, đg cao AD
\(\Rightarrow\frac{1}{AD^2}=\frac{1}{AN^2}+\frac{1}{AI^2}\) ( theo hệ thức lượng trog Δ vuông )
\(\Rightarrow\frac{1}{AB^2}=\frac{1}{AM^2}+\frac{1}{AI^2}\)
Lời giải:
a)
Xét tam giác $AND$ và $AMB$ có:
\(\widehat{ADN}=\widehat{ABM}=90^0\)
\(\widehat{DAN}=\widehat{BAM}(=90^0-\widehat{DAM})\)
\(\Rightarrow \triangle AND\sim \triangle AMB(g.g)\Rightarrow \frac{AN}{AM}=\frac{AD}{AB}=1\) (do $ABCD$ là hình vuông nên $AB=AD$)
\(\Rightarrow AM=AN\) (đpcm)
b)
Ta thấy $MC\parallel AD$ nên áp dụng định lý Ta-let:
\(\frac{AM}{AI}=\frac{CD}{DI}\Rightarrow AM=\frac{AI.CD}{DI}\)
Từ đây kết hợp với điều kiện $AB=AD=CD$ và định lý Pitago ta có:
\(\Rightarrow \frac{1}{AM^2}+\frac{1}{AI^2}=\frac{DI^2}{AI^2.CD^2}+\frac{1}{AI^2}=\frac{DI^2+CD^2}{AI^2.CD^2}=\frac{DI^2+AD^2}{AI^2.AB^2}=\frac{AI^2}{AI^2.AB^2}=\frac{1}{AB^2}\) (đpcm)
Vì ABCD là hình vuông (giả thiết).
\(\Rightarrow AB=BC=CD=DA\)(tính chất)
Và \(AB//CD\)(tính chất) \(\Rightarrow AB//DF\).
Và \(AD//CE\)(tính chất) \(\Rightarrow CE//AD\)
\(AB//DF\)(chứng minh trên)
\(\frac{AB}{AE}=\frac{FC}{FE}\)(hệ quả của định lí Ta-lét)
\(\Rightarrow\frac{AD}{AE}=\frac{FC}{FE}\)(vì \(AB=AD\))
\(\Rightarrow\frac{AD^2}{AE^2}=\frac{FC^2}{FE^2}\left(1\right)\)
Vì \(AB//CF\)(giả thiết)
\(\Rightarrow\frac{BE}{CE}=\frac{AE}{FE}\)(hệ quả của định lí Ta-lét) (2)
\(\Rightarrow\frac{BE}{CE+BE}=\frac{AE}{FE+AE}\)(tính chất của tỉ lệ thức)
\(\Rightarrow\frac{BE}{BC}=\frac{AE}{AF}\)\(\Rightarrow\frac{BE}{AD}=\frac{AE}{AF}\)(vì \(AD=BC\))
\(\Rightarrow\frac{AD}{AF}=\frac{BE}{AE}\)(tính chất của tỉ lệ thức)
Từ (2) \(\Rightarrow\frac{BE}{AE}=\frac{CE}{FE}\)(tính chất của tỉ lệ thức)
Do đó \(\frac{AD}{AF}=\frac{CE}{FE}\Rightarrow\frac{AD^2}{AF^2}=\frac{CE^2}{FE^2}\left(3\right)\)
Từ (1) và (3)
\(\Rightarrow\frac{AD^2}{AE^2}+\frac{AD^2}{AF^2}=\frac{FC^2}{FE^2}+\frac{CE^2}{FE^2}\)
\(\Rightarrow AD^2\left(\frac{1}{AE^2}+\frac{1}{AF^2}\right)=\frac{FC^2+CE^2}{FE^2}\)
Vì ABCD là hình vuông (giả thiết)
\(\Rightarrow BC\perp CD\)(tính chất)\(\Rightarrow EC\perp DF\)
Do đó \(\Delta CEF\)vuông tại C.
\(\Rightarrow CE^2+CF^2=EF^2\)(định lí Py-ta-go)
Do đó: \(AD^2\left(\frac{1}{AE^2}+\frac{1}{AF^2}\right)=\frac{FE^2}{FE^2}=1\)
\(\Rightarrow\frac{1}{AE^2}+\frac{1}{AF^2}=\frac{1}{AD^2}\)(điều phải chứng minh).
Qua A kẻ đường thẳng vuông góc với AM cắt tia BC tại E.
Tam giác AEM vuông tại A có \(AB\perp EM\)
Ta có: \(S_{AEM}=\dfrac{1}{2}AE.AM=\dfrac{1}{2}AB.ME\)
\(\Rightarrow AE.AM=AB.ME\\ \Rightarrow\dfrac{1}{AB}=\dfrac{ME}{AE.AM}\\ \Rightarrow\dfrac{1}{AB^2}=\dfrac{ME^2}{AE^2.AM^2}\left(1\right)\)
Áp dụng đl pytago vào tam giác vuông AEM:
\(AE^2+AM^2=ME^2\)
Thay vào (1) ta có:
\(\dfrac{1}{AB^2}=\dfrac{ME^2}{AE^2.AM^2}=\dfrac{AE^2+AM^2}{AE^2.AM^2}=\dfrac{1}{AE^2}+\dfrac{1}{AM^2}\)
Mà AE = AN nên: \(\dfrac{1}{AB^2}=\dfrac{1}{AM^2}+\dfrac{1}{AN^2}\)