Question

[Phan Lê Kim Chi]

Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a , M là điểm thuộc cạnh AB , tiia DM cắt tia BC tại N . Kẻ CE vuông góc với DN 

a/Giả sử BM = 1/3 AB . Tính DN , CE

b/Chứng minh 1/DM^2 + 1/DN^2 = 1/a^2

Answer 1

[Đoàn Đức Hà]

a) \(\Delta NBM~\Delta DAM\left(g.g\right)\Rightarrow\frac{NM}{DM}=\frac{BM}{AM}=\frac{1}{2}\)

\(DM=\sqrt{AM^2+AD^2}=\sqrt{\frac{4}{9}a^2+a^2}=\frac{\sqrt{13}}{3}a\)

\(DN=\frac{3}{2}DM=\frac{\sqrt{13}a}{2}\)

\(NC=\sqrt{DN^2-DC^2}=\sqrt{\frac{13}{4}a^2-a^2}=\frac{3}{2}a\)

\(\frac{1}{EC^2}=\frac{1}{DC^2}+\frac{1}{NC^2}\Rightarrow EC=\frac{3\sqrt{13}}{13}a\)

b) \(\frac{1}{DM^2}+\frac{1}{DN^2}=\frac{1}{\frac{13}{9}a^2}+\frac{1}{\frac{13}{4}a^2}=\frac{4+9}{13a^2}=\frac{1}{a^2}\)