Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Vẽ đường cao AH của \(\Delta\)ABC
Ta có: \(S_{MAB}=S_{MAC}=\frac{1}{2}S_{ABC}\)mà AM > AH (AH _|_ HM)
Do đó: \(\frac{4}{a}=\frac{2\cdot AH}{S_{ABC}}\le\frac{2AM}{S_{ABC}}=\frac{AM}{S_{MAB}}\left(1\right)\)
Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp \(\Delta\)ABC
Ta có \(S_{ABC}=S_{IBC}+S_{IAC}+S_{IAB}\)
\(\Rightarrow S_{ABC}=\frac{r\cdot BC}{2}+\frac{r\cdot AC}{2}+\frac{r\cdot AB}{2}\)
\(\Rightarrow\frac{2}{r}=\frac{AB+BC+AC}{2S_{MAB}}\)
Tương tự xét \(\Delta\)MAB và \(\Delta\)MAC ta cũng có:
\(\hept{\begin{cases}\frac{2}{r_1}=\frac{AM+AB+\frac{BC}{2}}{S_{MAB}}\\\frac{2}{r_2}=\frac{AM+AC+\frac{BC}{2}}{A_{MAC}}\end{cases}\left(2\right)}\)
Do đó:
\(\frac{4}{a}+\frac{2}{r}\le\frac{MA}{S_{MAB}}+\frac{AB+BC+AC}{2S_{MAB}}=\frac{1}{2}\left(\frac{AM}{S_{MAB}}+\frac{AB+\frac{AC}{2}}{S_{MAB}}\right)+\frac{1}{2}\left(\frac{AM}{S_{MAC}}+\frac{AC+\frac{BC}{2}}{S_{MAC}}\right)=\frac{1}{r_1}+\frac{1}{r_2}\)
Vậy \(\frac{1}{r_1}+\frac{1}{r_2}\ge2\left(\frac{1}{r}+\frac{1}{a}\right)\)
Từ O1 kẻ O1H vuông góc với O2C tại H. Vì R2 > R1 nên ta được O1BCH là hình chữ nhật
và : O2H = R2 - R1 = 2
\(cos\widehat{O_1O_2H}=\frac{O_2H}{O_1O_2}=\frac{2}{8}=\frac{1}{4}\Rightarrow\widehat{O_1O_2H}=\alpha\)(Bạn bấm máy tính để tìm giá trị góc này, còn mình đặt là \(\alpha\)cho dễ nhìn)
\(\Rightarrow\widehat{BO_1O_2}=180^o-\alpha\)(BO1 // CO2)
\(AB=\sqrt{2R^2_1-2R_1^2.cos\left(180^o-\alpha\right)}=m\)
\(AC=\sqrt{2R_2^2-2R_2^2.cos\alpha}=n\)
Gọi \(S_1\) và \(S_2\) lần lượt là diện tích hình quạt \(O_1AB\) và \(O_2AC\) thì ta có :
\(S_1=\frac{\pi.R_1^2.\left(180^o-\alpha\right)}{360^o}\) ; \(S_2=\frac{\pi.R_2^2.\alpha}{360^o}\)
\(S_{\Delta O_1AB}=\frac{1}{2}.R_1^2.sin\left(90^o-\alpha\right)\); \(S_{\Delta O_2AC}=\frac{1}{2}R_2^2.sin\alpha\)
Diện tích hình viên phân giới hạn bởi AB là : \(S'=S_1-S_{\Delta O_1AB}=x\)
Diện tích hình viên phân giới hạn bởi AC là : \(S''=S_2-S_{\Delta O_2AC}=y\)
Diện tích tam giác ABC nằm ngoài cả hai đường tròn đã cho là :
\(S_{ABC}-S'-S''=\frac{1}{2}m.n-x-y\)
Gọi \(O_1,O_2\) là tâm hai đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC,ABD. Khi đó \(O_1\in BD,O_2\in AC\). Gọi K là trung điểm AB thì \(O_1,O_2,K\) thẳng hàng. Qua B kẻ đường thẳng song song với AC cắt \(O_1O_2\) ở F. Ta có \(BFO_2\) cân ở B (đường cao là trung tuyến). Suy ra \(BF=R_2\). Theo hệ thức lượng trong tam giác vuông FBO1 thì \(\frac{1}{BK^2}+\frac{1}{BO_1^2}=\frac{1}{BK^2}\to\frac{1}{R_2^2}+\frac{1}{R_1^2}=\frac{4}{AB^2}=4.\)