Question

[阮芳草]

Cho hình thang ABCD có đáy nhỏ AB và các đường chéo cắt nhau tại O. Gọi các điểm M, N, P, Q lần lượt là các trung điểm của AB, AC, DC, DB.

a) Cm Tứ giác MNPQ là hình bình hành

b) Gọi I là giao của MQ và AC. Cm tam giác AMI đồng dạng với tam giác CPN

c) Cm 3 điểm M, O, P thẳng hàng.

Answer 1

[TuanMinhAms]

a) Do MN, NP, PQ, QM lần lượt là các đường trung bình các tam giác ABC, ACD, BDC, ABD

=> MN//BC, NP//AD, QP//BC, QM//AD  => MNPQ là hình bình hành

b) Do AB//CD => \(\widehat{AMP}=\widehat{CPM}\)

Từ câu trên => \(\widehat{QMP}=\widehat{NPM}\)

Từ 2 điều trên => \(\widehat{AMI}=\widehat{CPN}\)

Mà \(\widehat{MAI}=\widehat{PCN}\)=> T/g AMI đồng dạng t/g CPN

c) Gọi giao AD và BC là E, giao OE và CD là P', giao OE và AB là M'

Ta có AM'/P'C = OM'/OP' = M'B/DP'

AM'/DP' = EM'/  EP' = M'B/P'C

Từ 2 điều trên => DP'/P'C = P'C/DP' => P'D = P'C => P' trùng P mà AM'/M'B = DP/PC = 1

=> M' trùng M ( đây còn là bổ đề hình thang gồm ngược và đảo )

=> M,O,P thẳng hàng (đpcm)