Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(\left\{{}\begin{matrix}x^2-3x-4\le0\left(1\right)\\x^3-3x\left|x\right|-m^2+6m>0\left(2\right)\end{matrix}\right.\)
\(\left(1\right)\Leftrightarrow-1\le x\le4\)
TH1 : \(-1\le x< 0\)
\(\left(2\right)\Leftrightarrow x^3+3x^2-m^2+6m>0\)
\(\Leftrightarrow m^2-6m\le x^3+3x^2=2\)
\(\Leftrightarrow m^2-6m-2\le0\)
\(\Leftrightarrow3-\sqrt{11}\le m\le3+\sqrt{11}\)
TH2 : \(0\le x< 4\)
\(\Leftrightarrow x^3-3x^2-m^2+6m\ge0\)
\(\Leftrightarrow m^2-6m\le x^3-3x^2=16\)
\(\Leftrightarrow m^2-6m-16\le0\)
\(-2\le m\le8\)
Vậy \(-2\le m\le8\)
Lý thuyết cơ bản:
BPT: \(f\left(x\right)\le f\left(m\right)\) có nghiệm \(x\in\left(a;b\right)\) khi và chỉ khi \(f\left(m\right)\ge\min\limits_{\left(a;b\right)}f\left(x\right)\)
BPT: \(f\left(x\right)\le f\left(m\right)\) nghiệm đúng với mọi \(x\in\left(a;b\right)\) khi và chỉ khi \(f\left(m\right)\ge\max\limits_{\left(a;b\right)}f\left(x\right)\)
Nói tóm lại: có nghiệm thì so sánh với min, nghiệm đúng với mọi x thì so sánh với max
Trong trường hợp \(f\left(x\right)\ge f\left(m\right)\) thì làm ngược lại.
Ta có: \(x^2-3x-4\le0\Leftrightarrow-1\le x\le4\)
Xét \(x^3-3\left|x\right|x\ge m^2-6m\) trên \(\left[-1;4\right]\)
BPT có nghiệm khi \(f\left(m\right)=m^2-6m\le\max\limits_{\left[-1;4\right]}f\left(x\right)\) với \(f\left(x\right)=x^3-3\left|x\right|x\)
- Với \(-1\le x\le0\Rightarrow f\left(x\right)=x^3+3x^2=x^3+3x^2-2+2\)
\(=\left(x+1\right)\left[\left(x+1\right)^2-3\right]+2\le2\)
- Với \(0\le x\le4\Rightarrow f\left(x\right)=x^3-3x^2=x^3-3x^2-16+16\)
\(=\left(x-4\right)\left(x^2+x+4\right)+16\le16\)
So sánh 2 giá trị 2 và 16 ta suy ra \(\max\limits_{\left[-1;4\right]}\left(x^3-3\left|x\right|x\right)=f\left(4\right)=16\)
\(\Rightarrow m^2-6m\le16\Leftrightarrow m^2-6m-16\le0\)
\(\Leftrightarrow-2\le m\le8\)
\(\hept{\begin{cases}x+m\le0\\-x+5< 0\end{cases}\hept{\begin{cases}x\le-m\\x< -5\end{cases}\hept{\begin{cases}x\in\left(-\infty;-m\right)\\x\in\left(-\infty;-5\right)\end{cases}}}}\)bạn sửa lại chỗ trên nha là nửa khoảng
\(+-m\ge-5\)
\(m\le5< =>\)tập nghiệm của HPT \(S=\left(-m;-\infty\right)\)
\(+-m< 5\)
\(m>5< =>\)tập nghiệm của HPT \(S=\left\{-\infty;-5\right\}\)
\(\hept{\begin{cases}mx+y=m^2+m+1\\-x+my=m^2\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}m\left(my-m^2\right)+y-m^2-m-1=0\\x=my-m^2\end{cases}}\)
\(\Leftrightarrow\)\(\hept{\begin{cases}\left(m^2y-m^2\right)+\left(y-1\right)-\left(m^3+m\right)=0\\x=my-m^2\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\left(m^2+1\right)\left(y-m-1\right)=0\\x=my-m^2\end{cases}}\)
\(\Leftrightarrow\)\(\hept{\begin{cases}y=m+1\\x=m\left(m+1\right)-m^2\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=m\\y=m+1\end{cases}}\)
\(\Rightarrow\)\(x^2+y^2=2m^2+2m+1=2\left(m+\frac{1}{2}\right)^2+\frac{1}{2}\ge\frac{1}{2}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(m=\frac{-1}{2}\) hay hệ có nghiệm \(\left(x;y\right)=\left(\frac{-1}{2};\frac{1}{2}\right)\)
\(\hept{\begin{cases}x^2-3x-4\le0\left(1\right)\\x^3-3\left|x\right|\cdot x-m^2+6m\ge0\left(2\right)\end{cases}}\)
(1) có tập nghiệm là [-1;1]
(2) <=> \(x^3-3\left|x\right|\cdot x\ge m^2-6m\)
Xét đồ thị hàm số \(y=x^3-3\left|x\right|\cdot x=\hept{\begin{cases}x^3-3x^2\left(x\ge0\right)\\x^3+3x^2\left(x\le0\right)\end{cases}}\)trên [-1;4]
Trên đồ thị hàm số ta thấy đường thẳng y=m2-6m (m là tham số) có vị trí "ở dưới" đồ thị \(y=x^3-3\left|x\right|\cdot x\)thì \(m^2-6m\le16\) lúc đó hệ bất phương trình đã cho có nghiệm
\(m^2-6m\le16\Leftrightarrow m^2-6m-16\le0\Leftrightarrow-2\le m\le8\)