Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
đặt 2x+3=a
\(y\sqrt{y}+y=a\sqrt{a}+a\)
=>\(\left(\sqrt{y}-\sqrt{a}\right)\left(y+\sqrt{ay}+a+\sqrt{a}+\sqrt{y}\right)=0\)
=>\(\sqrt{y}=\sqrt{a}\Rightarrow y=2x+3\)
thay vào Q tìm min là xong
Ta có: \(x+y=1\Rightarrow\left(x+y\right)^3=1\)
\(\Rightarrow x^3+y^3+3xy\left(x+y\right)=1\)
\(\Rightarrow x^3+y^3+3xy=1\)
\(\Rightarrow B=\frac{x^3+y^3+3xy}{x^3+y^3}+\frac{x^3+y^3+3xy}{xy}\)
\(=4+\frac{3xy}{x^3+y^3}+\frac{x^3+y^3}{xy}\)
Áp dụng Bđt Cô-si ta có:
\(\frac{3xy}{x^3+y^3}+\frac{x^3+y^3}{xy}\ge2\sqrt{\frac{3xy}{x^3+y^3}\cdot\frac{x^3+y^3}{xy}}=2\sqrt{3}\)
\(\Rightarrow B\ge4+2\sqrt{3}\)
Dấu = khi \(\hept{\begin{cases}x+y=1\\x^3+y^3=\sqrt{3xy}\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x+y=1\\1-3xy=\sqrt{3xy}\end{cases}}\)
\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x+y=1\\3\sqrt{xy}=\frac{-1+\sqrt{5}}{2}\end{cases}}\)\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x+y=1\\xy=\frac{6-2\sqrt{5}}{12}\end{cases}}\)
\(\Leftrightarrow x^2-x+\frac{6-2\sqrt{5}}{12}=0\)\(\Leftrightarrow x,y=\frac{1\pm\sqrt{\frac{2\sqrt{5}-3}{3}}}{2}\)
Dự đoán \(M\) đạt min tại mỗi biến bằng \(\frac{2}{3}\).
Nên ta viết lại \(M=\left(x+\frac{4}{9x}\right)+\left(y+\frac{4}{9y}\right)+\frac{5}{9}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)\)
Áp dụng BĐT AM-GM cho hai lượng đầu và BĐT \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{4}{x+y}\) ta có:
\(M\ge\frac{4}{3}+\frac{4}{3}+\frac{5}{9}.\frac{4}{x+y}\ge\frac{4}{3}+\frac{4}{3}+\frac{5}{9}.\frac{4}{\frac{4}{3}}=\frac{13}{3}\)