Câu hỏi của TRUONG LINH ANH

Question

Cho đường tròn tâm O và điểm A nằm bên ngoài đường tròn, từ A vẽ tiếp tuyến AB với đường tròn (B là tiếp điểm). Kẻ đường kính BC của đường tròn(O). AC cắt đường tròn (O) tại D (D khác C).

a)...

Cô Hoàng Huyền · Accepted Answer

O A B C D E H F

a) Do D thuộc đường tròn (O), AB là đường kính nên $\widehat{BDC}=90^o\Rightarrow BD\perp AC$

Xét tam giác vuông ABC, đường cao BD ta có:

$AB^2=AD.AC$ (Hệ thức lượng)

b) Xét tam giác BEC có O là trung điểm BC; OH // CE nên OH là đường trung bình của tam giác. Vậy nên H là trung điểm BE.

Ta có OH // CE mà CE vuông góc AB nên $OH\perp BE$

Xét tam giác ABE có AH là trung tuyến đồng thời đường cao nên nó là tam giác cân.

Hay AB = AE.

Từ đó ta có $\Delta ABO=\Delta AEO\left(c-c-c\right)\Rightarrow\widehat{OEA}=\widehat{OBA}=90^o$

Vậy AE là tiếp tuyến của đường tròn (O)

c) Xét tam giác vuông OBA đường cao BH, ta có:

$OB^2=OH.OA$ (Hệ thức lượng)

$\Rightarrow OC^2=OH.OA\Rightarrow\frac{OH}{OC}=\frac{OC}{OA}$

Vậy nên $\Delta OHC\sim\Delta OCA\left(c-g-c\right)\Rightarrow\widehat{OHC}=\widehat{OCA}$

d) Ta thấy $\widehat{OCF}=\widehat{FCE}\left(=\widehat{OFC}\right)$

Lại có $\widehat{OCH}=\widehat{ACE}\left(=\widehat{OAC}\right)$

Nên $\widehat{HCF}=\widehat{FCA}$ hay CF là phân giác góc HCA.

Xét tam giác HCA, áp dụng tính chất đường phân giác trong tam giác, ta có:

$\frac{HF}{FA}=\frac{HC}{CA}\Rightarrow FA.HC=HF.CA\left(đpcm\right)$

Câu trả lời: