Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Lời giải:
a)
Xét $(O)$ có $\widehat{ACB}$ là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (do $AB$ là đường kính) nên $\widehat{ACB}=90^0$
$\Rightarrow \triangle ACB$ vuông tại $C$
$\Rightarrow AC\perp BC(1)$
Mặt khác:
$OC=OA=R$ nên tam giác $OAC$ cân tại $O$. Do đó đường trung tuyến $OI$ đồng thời cũng là đường cao. $\Rightarrow OI\perp AC(2)$
Từ $(1);(2)\Rightarrow OI\parallel BC$ (đpcm)
b) $DC$ là tiếp tuyến của $(O)\Rightarrow DC\perp OC$
Vì $OI\perp AC$ và cắt $AC$ tại trung điểm $I$ nên $OI$ là đường trung trực của $AC$. $D\in OI\Rightarrow DC=DA$ (tính chất đường trung trực)
$\Rightarrow \triangle DAO=\triangle DCO(c.c.c)$
$\Rightarrow \widehat{DAO}=\widehat{DCO}=90^0$
$\Rightarrow DA\perp OA$ nên $DA$ là tiếp tuyến của $(O)$
c)
Ta có $CO\parallel BK$ (cùng vuông góc với $CD$)
$\Rightarrow \widehat{OCB}=\widehat{CBK}$ (so le trong)
Và $\widehat{CBH}=\widehat{CBO}=\widehat{OCB}$ (do tam giác $OBC$ cân tại $O$)
$\Rightarrow \widehat{CBH}=\widehat{CBK}$
$\Rightarrow \triangle CBH\sim \triangle CBK (g.g)$
$\Rightarrow \frac{CH}{CK}=\frac{CB}{CB}=1\Rightarrow CH=CK$
$\Rightarrow CK^2=CH^2(*)$
Mà $CH^2=HA.HB(**)$ (theo hệ thức lượng trong tam giác vuông đối với TH tam giác $ACB$ vuông tại $C$, có đường cao $CH$)
Từ $(*); (**)\Rightarrow CK^2=HA.HB$ (đpcm)
N A B H M C O K I
1) Xét tứ giác CIOH có \(\widehat{CIO}+\widehat{CHO}=180^o\)nên là tứ giác nội tiếp
suy ra 4 điểm C,H,O,I cùng thuộc 1 đường tròn
2) vì OI \(\perp\)AC nên OI là đường trung trực của AC
\(\Rightarrow\widehat{AOM}=\widehat{COM}\)
Xét \(\Delta AOM\)và \(\Delta COM\)có :
\(\widehat{AOM}=\widehat{COM}\)( cmt )
OM ( chung )
OA = OC
\(\Rightarrow\Delta AOM=\Delta COM\left(c.g.c\right)\)
\(\Rightarrow\widehat{OAM}=\widehat{OCM}=90^o\)
\(\Rightarrow OC\perp MC\)hay MC là tiếp tuyến của đường tròn O
3) Ta có : \(\hept{\begin{cases}\widehat{AOM}+\widehat{IAO}=90^o\\\widehat{IAO}+\widehat{HBC}=90^o\end{cases}}\Rightarrow\widehat{AOM}=\widehat{HBC}\)
Xét \(\Delta AOM\)và \(\Delta HCB\)có :
\(\widehat{AOM}=\widehat{HBC}\); \(\widehat{MAO}=\widehat{CHB}=90^o\)
\(\Rightarrow\Delta AOM~\Delta HBC\left(g.g\right)\)
4) Gọi N là giao điểm của BC và AM
Xét \(\Delta NAB\)có AO = OB ; OM // BN nên AM = MN
CH // AN \(\Rightarrow\frac{CK}{NM}=\frac{KH}{AM}\left(=\frac{BK}{BM}\right)\)
Mà AM = NM nên CK = KH
\(\Rightarrow\)K là trung điểm của CH