Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Đường tròn tâm \(I\left(2;1\right)\) bán kính \(R=\sqrt{5}\)
Do M thuộc \(\Delta\) nên tọa độ có dạng: \(M\left(m;-m-2\right)\Rightarrow\overrightarrow{IM}=\left(m-2;-m-3\right)\)
\(\Rightarrow IM^2=\left(m-2\right)^2+\left(m+3\right)^2=2m^2+2m+13\)
\(\Delta_vMIA=\Delta_vMIB\Rightarrow S_{IMAB}=2S_{MIA}=2.\dfrac{1}{2}AM.IA\)
\(\Leftrightarrow10=IA.\sqrt{IM^2-IA^2}=\sqrt{5}.\sqrt{2m^2+2m+13-5}\)
\(\Leftrightarrow2m^2+2m+8=20\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}m=2\\m=-3\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}M\left(2;-4\right)\\M\left(-3;1\right)\end{matrix}\right.\)
Bài 2:
Đường tròn \(\left(C_1\right)\) tâm \(\left(1;2\right)\) bán kính \(R=2\)
a/ Không hiểu đề bài, bạn ghi rõ thêm ra được chứ?
Tiếp tuyến đi qua giao điểm của \(\Delta_1;\Delta_2\) hay tiếp tuyến tại các giao điểm của \(\Delta_1\) và \(\Delta_2\) với đường tròn?
b/ Lại không hiểu đề nữa, điểm I trong tam giác \(IAB\) đó là điểm nào vậy bạn?
Bài 1b/
\(\Delta'\) nhận \(\left(2;1\right)\) là 1 vtpt
Gọi vtpt của d' có dạng \(\left(a;b\right)\Rightarrow\frac{\left|2a+b\right|}{\sqrt{2^2+1^2}.\sqrt{a^2+b^2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{2}\left|2a+b\right|=\sqrt{5\left(a^2+b^2\right)}\Leftrightarrow2\left(2a+b\right)^2=5\left(a^2+b^2\right)\)
\(\Leftrightarrow3a^2+8ab-3b^2=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}a=-3b\\3a=b\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\) d' có 2 vtpt thỏa mãn là \(\left(3;-1\right)\) và \(\left(1;3\right)\)
TH1: d' có pt dạng \(3x-y+c=0\)
\(d\left(I;d'\right)=R\Leftrightarrow\frac{\left|3.1-3+c\right|}{\sqrt{3^2+1^2}}=2\Rightarrow c=\pm2\sqrt{10}\)
\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}3x-y+2\sqrt{10}=0\\3x-y-2\sqrt{10}=0\end{matrix}\right.\)
TH2: d' có dạng \(x+3y+c=0\)
\(d\left(I;d'\right)=R\Leftrightarrow\frac{\left|1+3.3+c\right|}{\sqrt{10}}=2\Leftrightarrow\left|c+10\right|=2\sqrt{10}\Rightarrow c=-10\pm2\sqrt{10}\)
\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x+3y-10+2\sqrt{10}=0\\x+3y-10-2\sqrt{10}=0\end{matrix}\right.\)
Câu 1:
\(P=4sin\frac{A+B}{2}cos\frac{A-B}{2}-2\left(2cos^2\frac{C}{2}-1\right)\)
\(P=4cos\frac{C}{2}cos\frac{A-B}{2}-4cos^2\frac{C}{2}+2\)
\(\Leftrightarrow4cos^2\frac{C}{2}-4cos\frac{C}{2}.cos\frac{A-B}{2}+P-2=0\)
Đặt \(x=cos\frac{C}{2}\)
\(\Rightarrow4x^2-4cos\frac{A-B}{2}.x+P-2=0\) (1)
Do góc C luôn tồn tại \(\Rightarrow\) phương trình (1) luôn có ít nhất 1 nghiệm
\(\Delta'=4cos^2\frac{A-B}{2}-4\left(P-2\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow4cos^2\frac{A-B}{2}+8\ge4P\Rightarrow P\le cos^2\frac{A-B}{2}+2\le3\)
\(\Rightarrow P_{max}=3\) khi \(\left\{{}\begin{matrix}A=B\\cos\frac{C}{2}=\frac{1}{2}\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}A=B=30^0\\C=120^0\end{matrix}\right.\)
Câu 2: đường tròn tâm \(O\left(1;2\right)\) ; \(R=2\)
Do \(M\in d\Rightarrow M\left(a;a+7\right)\)
\(OM^2=\left(a-1\right)^2+\left(a+5\right)^2=2a^2+8a+26\)
\(\Rightarrow MA^2=MB^2=IM^2-R^2=\left(a-1\right)^2+\left(a+5\right)^2-4=2a^2+8a+22\)
Ta có \(\Delta OAM=\Delta OBM\Rightarrow S_{OAMB}=2S_{OAM}=OA.AM=R.AM\)
Mặt khác do \(OM\perp AB\) (tính chất đường tròn)
\(\Rightarrow S_{OAMB}=AB.OM\)
\(\Rightarrow AB.OM=R.AM\Rightarrow AB^2=\frac{R^2.AM^2}{OM^2}=\frac{4\left(2a^2+8a+22\right)}{2a^2+8a+26}=\frac{4\left(a^2+4a+11\right)}{a^2+4a+13}\)
\(\Rightarrow AB^2=4-\frac{8}{a^2+4a+13}=4-\frac{8}{\left(a+2\right)^2+9}\ge4-\frac{8}{9}=\frac{28}{9}\)
\(\Rightarrow AB_{min}=\frac{2\sqrt{7}}{3}\) khi \(a=-2\Rightarrow b=5\Rightarrow a+b=3\)
Đường tròn tâm \(I\left(-5;4\right)\) bán kính \(R=2\sqrt{10}\)
Ta có: \(S_{IAB}=\frac{1}{2}IA.IB.sin\widehat{AIB}=\frac{1}{2}R^2.sin\widehat{AIB}\le\frac{1}{2}R^2\)
\(\Rightarrow S_{max}\) khi \(sin\widehat{AIB}=1\Leftrightarrow AI\perp BI\Rightarrow AB=R\sqrt{2}=4\sqrt{5}\)
Khi đó \(MAIB\) là hình vuông
\(\Rightarrow IM=AB=4\sqrt{5}\)
Do M thuộc d nên tọa độ có dạng: \(M\left(m;m+5\right)\Rightarrow\overrightarrow{IM}=\left(m+5;m+1\right)\)
\(\Rightarrow\left(m+5\right)^2+\left(m+1\right)^2=80\)
\(\Leftrightarrow m^2+6m-27=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}m=3\\m=-9\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}M\left(3;8\right)\\M\left(-9;-4\right)\end{matrix}\right.\)
b/ Gọi \(P\left(a;a+5\right)\Rightarrow\overrightarrow{IP}=\left(a+5;a+1\right)\)
Ta có: \(S_{PAI}=\frac{1}{2}AI.AP=\frac{1}{2}R.\sqrt{IP^2-R^2}=3\sqrt{10}\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{10}.\sqrt{IP^2-40}=3\sqrt{10}\)
\(\Leftrightarrow IP^2=49\Leftrightarrow\left(a+5\right)^2+\left(a+1\right)^2=49\)
\(\Leftrightarrow2a^2+12a-23=0\Rightarrow a=\frac{-6\pm\sqrt{82}}{2}\Rightarrow P...\)