Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
a. Gọi I là trung điểm AB khi đó \(I\left(-1;2\right)\) và \(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}=2\overrightarrow{MI}\) với mọi M
Do đó \(M\in\Delta\) mà \(\left|\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}\right|\) nhỏ nhất khi và chỉ khi M là hình chiếu của I trên \(\Delta\)
Gọi \(\left(x;y\right)\) là tọa độ hình chiếu của I trên \(\Delta\). Khi đó ta có hệ phương trình :
\(\begin{cases}x+y+1=0\\\frac{x+1}{1}=\frac{y-2}{1}\end{cases}\) \(\Leftrightarrow\begin{cases}x+y+1=0\\x-y+3=0\end{cases}\)
Giải hệ thu được \(x=-2;y=1\) Vạy điểm \(M\in\Delta\) mà \(\left|\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}\right|\) nhỏ nhất là \(M\equiv I\left(-2;1\right)\)
b) gọi J là điểm thỏa mãn \(2\overrightarrow{JA}+3\overrightarrow{JB}\)=0 khi đó \(J\left(-\frac{8}{5};\frac{9}{5}\right)\) và với mọi điểm M của mặt phẳng đều có
\(2MA^2+3MB^2=2JA^2+3JB^2+5MJ^2\)
suy ra \(M\in\Delta\)mà \(2MA^2+3MB^2\)nhỏ nhất khi và chỉ khi M là hình chiếu của J trên\(\Delta\)
Gọi (x;y) là tọa độ hình chiếu của J trên \(\Delta\).khi đó ta có phương trình
\(\begin{cases}x+y+1=0\\x+\frac{8}{5}=y-\frac{9}{5}\end{cases}\)\(\Leftrightarrow\begin{cases}x+y+1=0\\x-y-\frac{17}{5}=0\end{cases}\)
Giải hệ thu được : \(x=\frac{5}{6};y=-\frac{11}{5}\)
Vậy điểm M cần tìm là : \(M\left(\frac{6}{5};\frac{-11}{5}\right)\)
M thuộc d nên: \(a-2b-2=0\Rightarrow2b=a-2\)
\(\left\{{}\begin{matrix}\overrightarrow{MA}=\left(-a;1-b\right)\\\overrightarrow{MB}=\left(3-a;4-b\right)\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}=\left(3-2a;5-2b\right)=\left(3-2a;9-2a\right)\)
Đặt \(T=\left|\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}\right|=\sqrt{\left(3-2a\right)^2+\left(9-2a\right)^2}=\sqrt{8a^2-48a+90}=\sqrt{8\left(a-3\right)^2+18}\ge\sqrt{18}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a-3=0\Leftrightarrow a=3\Rightarrow b=\dfrac{1}{2}\)
Gọi điểm I thỏa mãn : \(\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}+3\overrightarrow{IC}=\overrightarrow{0}\), do ABC cố định nên điểm I là cố định
ta có :
\(\left|\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+3\overrightarrow{MC}\right|=\)\(\left|\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IB}+3\overrightarrow{MI}+3\overrightarrow{IC}\right|=\left|5\overrightarrow{MI}\right|=5MI\) nhỏ nhất khi M là hình chiếu của I lên đường thẳng d
Kí hiệu v là vectơ nhé
1) Gọi I là điểm thỏa v IA + v IB + 3 v IC = 0 (1) (đây là vectơ 0 nhé)
=> v IA + v IA + v AB + 3 v IA + 3 AC = 0
=> 5 v IA = - (v AB + 3 v AC) => I cố định (do A, B, C cố định)
Ta có: v a = v MA + v MB + 3 v MC = v MI + v IA + v MI + v IB + 3 v MI + 3 v IB =
= 5 v MI + ( v IA + v IB + 3 v IC) = 5 v MI (do (1))
=> | v a| = | 5 v MI| = 5 MI
|v a| Min <=> MI min <=> MI = 0 <=> M trùng I
Vậy khi M là điểm thỏa 5 v MA = - (v AB + 3 v AC) (cố định) thì độ dài vectơ a nhỏ nhất.
Với mọi điểm O ta có :
\(\overrightarrow{u}=\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{2MC}=\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OM}+\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OM}+2\left(\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OM}\right)\)
\(=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+2\overrightarrow{OC}-4\overrightarrow{OM}\)
Ta chọn điểm O sao cho \(\overrightarrow{v}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+2\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{0}\)
( Chú ý: Nếu G là trọng tâm tam giác ABC thì \(\overrightarrow{v}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OC}=3\overrightarrow{OG}+\overrightarrow{OC}=4\overrightarrow{OG}+\overrightarrow{GC}\). Bởi vậy để \(\overrightarrow{v}=\overrightarrow{0}\)ta chọn điểm O sao cho \(\overrightarrow{GO}=\frac{1}{4}\overrightarrow{GC}\))
Khi đó \(\overrightarrow{u}=-4\overrightarrow{OM}\)và do đó \(|\overrightarrow{u}|=4OM\)
Độ dài vectơ \(\overrightarrow{u}\)nhỏ nhất khi và chỉ khi 4OM nhỏ nhất hay M là hình chiếu vuông góc của O trên d
Gọi \(M\left(x;0\right)\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\overrightarrow{MA}=\left(-1-x;4\right)\\\overrightarrow{MB}=\left(1-x;-2\right)\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\overrightarrow{MA}+2\overrightarrow{MB}=\left(1-3x;0\right)\)
\(\Rightarrow\left|\overrightarrow{MA}+2\overrightarrow{MB}\right|=\sqrt{\left(1-3x\right)^2}\ge0\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=\frac{1}{3}\Rightarrow M\left(\frac{1}{3};0\right)\)
Gọi \(P\left(0;y\right)\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\overrightarrow{PA}=\left(-1;4-y\right)\\\overrightarrow{PB}=\left(1;-2-y\right)\\\overrightarrow{PC}=\left(3;4-y\right)\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\overrightarrow{PA}+2\overrightarrow{PB}-4\overrightarrow{PC}=\left(-11;5y-16\right)\)
\(\Rightarrow\left|\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB}-4\overrightarrow{PC}\right|=\sqrt{11^2+\left(5y-16\right)^2}\ge11\)
Dấu "=" xảy ra khi \(5y-16=0\Rightarrow y=\frac{16}{5}\Rightarrow P\left(0;\frac{16}{5}\right)\)
tại sao
Q=\(2\sqrt{\left(9-3m\right)^2}...\)
chuyển xuống thành \(\sqrt{\left(18-6m\right)^2...}\)
sao không phải là nhân 4 ở trong mài
vì \(2=\sqrt{4}\), vậy thì phải nhân 4 chứ
Do M thuộc Ox, gọi tọa độ M có dạng \(M\left(m;0\right)\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\overrightarrow{MA}=\left(1-m;-4\right)\\\overrightarrow{MB}=\left(4-m;5\right)\\\overrightarrow{MC}=\left(-m;-9\right)\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\overrightarrow{MA}+2\overrightarrow{MB}=\left(9-3m;6\right)\\\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=\left(4-2m;-4\right)\end{matrix}\right.\)
\(Q=2\sqrt{\left(9-3m\right)^2+6^2}+3\sqrt{\left(4-2m\right)^2+\left(-4\right)^2}\)
\(=\sqrt{\left(6m-18\right)^2+12^2}+\sqrt{\left(12-6m\right)^2+12^2}\)
\(=\sqrt{\left(18-6m\right)^2+12^2}+\sqrt{\left(6m-12\right)^2+12^2}\)
\(Q\ge\sqrt{\left(18-6m+6m-12\right)^2+\left(12+12\right)^2}=6\sqrt{17}\)
\(\Rightarrow a-b=-11\)