Question

[Xích U Lan]

Cho ΔABC vuông tại A (AB < AC) nội tiếp đường tròn (I;r). Gọi P là trung điểm của AC, AH là đường cao của ΔABC.

a, C/m: Tứ giác APIH nội tiếp được trong đường tròn (K). Xác định tâm K của đường tròn này.

b, C/m: 2 đường tròn (I) và (K) tiếp xúc nhau.

Answer 1

[Nguyễn Lê Phước Thịnh]

a) Ta có: ΔABC vuông tại A(gt)

mà ΔABC nội tiếp (I;r)

nên BC là đường kính của (I;r)

hay I là trung điểm của BC

Xét ΔABC có 

I là trung điểm của BC(cmt)

P là trung điểm của AC(gt)

Do đó: IP là đường trung bình của ΔABC(Định nghĩa đường trung bình của tam giác)

Suy ra: IP//AB và \(IP=\dfrac{AB}{2}\)(Định lí 2 về đường trung bình của tam giác)

Ta có: IP//AB(cmt)

AB\(\perp\)AC(ΔABC vuông tại A)

Do đó: IP\(\perp\)AC(Định lí 2 về từ vuông góc tới song song)

Xét tứ giác APIH có 

\(\widehat{AHI}\) và \(\widehat{API}\) là hai góc đối

\(\widehat{AHI}+\widehat{API}=180^0\left(90^0+90^0=180^0\right)\)

Do đó: APIH là tứ giác nội tiếp(Dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp)