Question

[Kudo shinichi]

cho Δ ABC có \(\widehat{A}=90^o\), AB<AC. Gọi I là trung điểm của AB. Trên tia đối của tia IC, lấy điểm D sao cho IC=ID.

a)CMR:ΔCIA=ΔDIB

b)CMR: BD // AC

c) Trên tia đối của tia AC, lấy điểm M sao cho AM=AB. Trên cạnh AB lấy điểm N sao cho AN=AC

CMR: MN ⊥ BC

Answer 1

[Ngô Tấn Đạt]

a)

Xét \(\Delta CIA;\Delta DIB\) có :

\(IC=ID\left(gt\right)\\ \widehat{CIA}=\widehat{DIB}\left(đ^2\right)\\ IA=IB\left(gt\right)\\ \Rightarrow\Delta CIA=\Delta DIB\left(c-g-c\right)\\ \)

b)

\(\Delta CIA=\Delta DIB\\ \Rightarrow\widehat{A}=\widehat{DBI}\)

=> BD // AC

Answer 2

[Đạt Phan Thành]

a) Xét ΔCIA và ΔDIB

Có: IA=IB (gt)

\(\widehat{CIA}=\widehat{DIB}\) (2 góc đối đỉnh)

IC=ID (gt)

⇒ ΔCIA và ΔDIB (c-g-c)

b) Do ΔCIA và ΔDIB (theo câu a)

⇒ \(\widehat{ACI}=\widehat{D}\) (2 góc tương ứng)

mà \(\widehat{ACI}=\widehat{D}\) ở vị trí so le trong

⇒ BD // AC

c) Gọi giao điểm giữa cạnh MN và canh BC là K

Xét ΔABC và ΔAMN

Có: AC =AN (gt)

\(\widehat{BAC}=\widehat{MAN}\left(=90^O\right)\)

AB=AM (gt)

⇒ ΔABC = ΔAMN (c-g-c)

⇒ \(\widehat{AMN}=\widehat{ABC}\) (2 góc tương ứng)

mà \(\widehat{ANM}=\widehat{KNB}\) (Vì 2 góc đối đỉnh)

Xét ΔAMN vuông tại A

nên: \(\widehat{KBN}+\widehat{ANM}=90^O\) (Tính chất của Δ vuông)

hay: \(\widehat{KBN}+\widehat{KNB}=90^O\)

Xét ΔKNB có:

\(\widehat{KNB}+\widehat{KBN}+\widehat{NKB}=180^O\) (Định lý tổng 3 góc của 1Δ)

hay: \(\widehat{NKB}=180^O-\left(\widehat{KNB}+\widehat{KBN}\right)\)

⇒ \(\widehat{NKB}=180^O-90^O\)

⇒ \(\widehat{NKB}=90^0\)

⇒ MN ⊥ CB (ĐPCM)