Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
cái này dễ lắm. thế này nhé. \(a^4\ge0\), b và c cũng thế. suy ra để \(a^4+b^4+c^4=3\)thì a,b,c phải bằng 1 (vì a,b,c nguyên dương hay lớn hơn 0). thế là thay vào rồi suy ra biểu thức kia nhỏ hơn hoặc bằng 1 thôi
mình giải đúng 100%. tích đúng cho mình nhé
\(sigma\frac{a^2+b^2}{ab\left(a+b\right)^3}\ge sigma\frac{\frac{\left(a+b\right)^2}{2}}{\left(a+b\right)^2\left(a^3+b^3\right)}=sigma\frac{1}{2\left(a^3+b^3\right)}\ge\frac{9}{4\left(a^3+b^3+c^3\right)}=\frac{9}{4}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=\frac{1}{\sqrt[3]{3}}\)
\(\frac{bc}{a^2+1}=\frac{bc}{a^2+b^2+a^2+c^2}\le\frac{1}{2}\sqrt{\frac{b^2c^2}{\left(a^2+b^2\right)\left(a^2+c^2\right)}}\le\frac{1}{4}\left(\frac{b^2}{a^2+b^2}+\frac{c^2}{a^2+c^2}\right)\)
Tương tự:
\(\frac{ac}{b^2+1}\le\frac{1}{4}\left(\frac{a^2}{a^2+b^2}+\frac{c^2}{b^2+c^2}\right)\) ; \(\frac{ab}{c^2+1}\le\frac{1}{4}\left(\frac{a^2}{a^2+c^2}+\frac{b^2}{b^2+c^2}\right)\)
Cộng vế với vế:
\(VT\le\frac{1}{4}\left(\frac{a^2}{a^2+b^2}+\frac{b^2}{a^2+b^2}+\frac{b^2}{b^2+c^2}+\frac{c^2}{b^2+c^2}+\frac{a^2}{a^2+c^2}+\frac{c^2}{a^2+c^2}\right)=\frac{3}{4}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=\frac{1}{\sqrt{3}}\)
b) \(\left(1+a\right).\frac{1}{1+b^2}=\left(1+a\right)\left(1-\frac{b^2}{1+b^2}\right)\)
\(\ge\left(1+a\right)\left(1-\frac{b^2}{2b}\right)=1+a-\frac{ab+b}{2}\)
Thiết lập hai BĐT còn lại tương tự và cộng theo vế được:
\(VT\ge6-\frac{ab+bc+ca+3}{2}\ge6-\frac{\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}+3}{2}\)
\(=6-\frac{3+3}{2}=3^{\left(đpcm\right)}\)
Dấu "=" xảy ra khi a = b = c = 1